链式法则

马同学

链式法则

定理（链式法则）.如果 $u=g(x)$ 在 $x$ 点可导，而 $y=f(u)$ 在 $u=g(x)$ 点可导，那么复合函数 $y=f[g(x)]$ 在 $x$ 点可导，其导数为：
$\frac{\textrm{d}y}{\textrm{d}x}=f'(u)g'(x)\quad\text{或}\quad\frac{\textrm{d}y}{dx}=\frac{\textrm{d}y}{\textrm{d}u}\cdot\frac{\textrm{d}u}{\textrm{d}x}$

证明 .根据 $u=g(x)$ 在 $x$ 点可导，结合上极限与无穷小的关系，有：
$\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta u}{\Delta x}=g'(x)\implies \frac{\Delta u}{\Delta x}=g'(x)+\alpha_1\implies\Delta u=\Big(g'(x)+\alpha_1\Big)\Delta x\qquad(1)$
其中 $\alpha_1$ 是 $\Delta x\to 0$ 时的无穷小。同样的根据函数 $y=f(u)$ 在 $u$ 点可导，结合上极限与无穷小的关系，有：
$\lim_{\Delta u\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta u}=f'(u)\implies\frac{\Delta y}{\Delta u}=f'(u)+\alpha_2\implies\Delta y=\Big(f'(u)+\alpha_2\Big)\Delta u\qquad(2)$
其中 $\alpha_2$ 是 $\Delta u\to 0$ 时的无穷小。将 $(1)$ 式代入 $(2)$ 式：
$\Delta y =\Big(f'(u)+\alpha_2\Big)\Big(g'(x)+\alpha_1\Big)\Delta x\implies\frac{\Delta y}{\Delta x}=\Big(f'(u)+\alpha_2\Big)\Big(g'(x)+\alpha_1\Big)$
根据 $(1)$ 式可知，当 $\Delta x\to 0$ 趋于 $0$ 时 $\Delta u\to 0$ ，从而当 $\Delta x\to 0$ 趋于 $0$ 时， $\alpha_1\to 0$ 且 $\alpha_2\to 0$ 。所以：
$\begin{align} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} &=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to 0}\left[\Big(f'(u)+\alpha_2\Big)\Big(g'(x)+\alpha_1\Big)\right]\\ &=\lim_{\Delta x\to 0}\Big(f'(u)g'(x)+f'(u)\alpha_1+g'(x)\alpha_2+\alpha_1\alpha_2\Big)=f'(u)g'(x) \end{align}$