指数分布

马同学

指数分布

两次卖出馒头之间的时间间隔大于的概率，根据之前的分析，等同于时间内没有卖出一个馒头的概率，而后者的概率可以由泊松过程给出。至此所需的条件都齐备了，那么开始解题吧，假设随机变量：

这个随机变量的概率可以如下计算：

进而有：

这其实已经得到了的累积分布函数了，所以我们可以得到一个概率分布：

若随机变量的概率密度函数为：

其中，称服从，也可以记为：

累积分布函数为：

刚才根据泊松过程推出了累积分布函数：

对其求导就可以得到概率密度函数：

整理下可以得到结论。其中的对应的是时间，所以大于等于0的时候才有意义。

下面可以调整看下对PDF、CDF的影响：

练习题1

某站台上，两辆公交车到站的时间间隔是否服从指数分布？

服从

不服从

这个问题其实是问，在一段时间内到达站台的公交车数量是否满足泊松分布的三个条件：

平稳性：在一段时间内公交车到达的数量还是差不多的（可能需要分时段统计，比如白天和夜间，高峰与低谷）
普通性：可以认为公交车进站总有先后，不会在同一瞬间到达两辆公交车
独立性：公交车到达车站的事件彼此独立

因此符合泊松分布，进而两辆公交车之间的时间间隔也符合指数分布。

练习题2

电气设备的寿命是否服从指数分布？

服从

不服从

很多教材学到指数分布的时候都会说电气设备的寿命是服从指数分布的，对此我尝试解释一下这个寿命为什么会服从指数分布。

关于这点可以如下理解，假想电器的内部有一枚硬币，抛出反面的概率很大，而正面很不容易抛出。每一秒抛一次硬币，如果是反面，那么电器还可以使用，如果是正面，那么电器就寿终正寝。那么它的寿命就可以看作是二项分布（或者说几何分布，抛到一次正面就结束），由于抛硬币的次数很多（即很大），所以最终可以看作是泊松分布。那么它的寿命相当于时间间隔，确实会服从指数分布。

当然这种寿命指的是因为随机故障、意外导致的寿命；老化导致的寿命不符合这种情况。

关注马同学