定理 1（几何分布的无记忆性）.若服从参数为的几何分布，则对任意正整数与有：

证明 .根据，可得：

令，对上式进行变量代换，可得：

所以，根据，对任意正整数与有：

举例说明下定理 1 。设表示“赌博中首次获胜需要的场次数”，其服从参数为的几何分布，那么：

• ：已经输了次的条件下，再连输次的概率
• ：前面次都输的概率

定理 1 指出这两个概率是相等的，即：

这意味着：之前的失败不会对之后的结果造成影响，赌桌不会"记得"过去发生了什么，如图 1 所示。

所以定理 1 也被称为 几何分布的无记忆性 。

例 .若，请尝试计算以及。

解 .（1）分别计算以及：

所以，这表明不具备无记忆性。

        （2）或这么理解，设表示的是“抛掷硬币10次后得到正面的次数”，则：

• 是10次抛掷得到2次以上正面的概率，这很容易达成，因此概率较高（约）
• 是得到至少5次正面后，再额外得到2次以上正面的概率，此时可供抛掷的次数大幅减少（会消耗掉10次抛掷中的一部分），更难实现，概率也就显著降低（约）

虽然和计算的都是“得到2次以上正面”的概率，但已发生的事件（）会影响后续结果，这意味着不具备无记忆性。