之前介绍过为圆半径的倒数，即有。本节通过来重新推导一下。

本次推导的思路用一句话来说就是：越弯曲的曲线偏离直线的速度越快。所以接下来我们就会尝试定义曲线对直线的偏离速度。

在下图中有两半径不同的圆，将各自的切线都转动。容易观察出，在这个过程中，左边的圆半径较小，经过的弧长较短；右边的圆半径较大，经过的弧长较长。

或这么来理解上述过程，两个圆的切线都转动了，也就意味着都偏离了直线。但前者完成转动所需的弧长较短，也就是说偏离直线的速度更快；而后者完成转动所需的弧长较长，也就是说偏离直线的速度较慢。所以可以将圆偏离直线的速度定义为，这也可以认为是圆的曲率的定义式，值越大说明圆的弯曲程度越大。比如在这里就有：

上述分析也是符合日常经验的，就好像在地球上行走，就算只是想要转动 0.01 弧度，但因为需要走过的弧长实在太远，偏离直线的速度太慢，再加上周围高山、森林阻碍视线，人们很难发现自己是在球体上，所以我们一度认为地球是平的。

这也符合说的，半径越小的圆的弯曲程度越大。

按照上述定义，下面来化简下圆的曲率。设某圆的半径为，其圆心在原点，则其参数方程为：

若切线从圆上的点出发，转过后到达点，走过的弧长为。根据简单的几何知识，可以证明对应的圆心角为，如下图所示。

设点坐标为，则点坐标为，所以就是圆的参数方程在区间上的弧长。根据，有：

所以，和之前定义的是一样的。