有了前面的铺垫，我们可以来学习“积分”的严格定义了，其更正式的称呼是定积分。
设函数在上，在中任意插入若干个分点：
把分成个小区间：
各个小区间的长度依次为：
在每个小区间上任取一点，作函数值与小区间长度的乘积，并作出和：
记，若当时，这和的极限总存在，且与闭区间的分法及点的取法无关，则称这个极限为函数在区间上的 定积分 （Definite integral），简称 积分 ，记作，即：
其中叫做 被积函数 ，叫做 被积表达式 ，叫做 积分变量 ，叫做 积分下限 ，叫做 积分上限 ，叫做 积分区间 。
如果函数在区间上的定积分存在，那么就说函数在区间上 可积 。
上述定义涉及到的符号较多，这里用下图来总结一下。
除了符号复杂外，该定义本身也很复杂，可说是本课程中最复杂的定义，让我们通过举例来仔细解释下。
如下图所示，函数在上。
在中任意插入若干个分点：
这些分点把分成个小区间，每个小区间的长度为，如下图所示（为了展示方便，下图中的分点都是均匀插入的）。
在每个小区间上任取一点，其函数值为，如下图所示。
以各个小区间作底，作高，可以得到个小矩形，如下图所示。容易知道每个小矩形的面积都是。
值得注意的是，上述的小区间是可以任意划分的，点也是在小区间上任意选取的，所以小矩形是会不断变化的，如下图所示。
将这些可以变化的小矩形的面积加起来，得到的就是定义中提到的和，该和也称为 黎曼和 （Riemann sum），以其发明者德国数学家黎曼命名，如下图所示。
如果恰当地（而不是任意地）在中插入更多的分点，那么就可以看到小矩形在不断增多，不断逼近以函数为曲边的曲边梯形，如下图所示。该操作用代数来表示就是，记，不断缩小。
随着的缩小，如果最终这些小矩形的和存在极限，该极限就是定积分，即：
如果同学们还觉得有点抽象的话，来看下一节的例题吧。
