前面几节都是通过面积来解释的，其实这两者还是有一些区别：

• 曲边梯形的面积是通过来定义的
• 可以为负数，所以的内涵是更广泛的

下面是进一步的解释和细节。

比如下图给出的就是一个曲边梯形。

如下图所示，的面积可以通过来逼近。

所以定义的面积为，如下图所示。

值得注意的是，曲边梯形的面积被定义为，但不是曲边梯形的面积，因为可以为负数：

以下图为例，根据上述定理有：

• 在区间上有，那么，我们在下图中用蓝色表示，并标上“+”；
• 在区间上有，那么，我们在下图中用红色表示，并标上“-”；