说的是，当曲线两侧的端点相等时，曲线上存在某点的与端点的连线平行。从几何上看“端点相等”这个要求似乎有点多余，去掉该要求好像也会有类似的性质，如下图所示。

去掉“端点相等”后，就得到了本节要介绍的 拉格朗日中值定理 。

这里解释下上述证明中的辅助函数是怎么得来的。首先对该定理的结论进行变形，有：

结合，我们会希望上式的左侧为某函数的，即：

所以在上述证明中，我们假设：

拉格朗日中值定理在微积分中比较重要，所以有时候也直接称为 微分中值定理 。

下面解释一下拉格朗日中值定理的几何意义。从下图可以看出，是两侧端点连线的斜率。

所以“，使得”意味着，上存在某点，其与端点的连线平行，如下图所示。

也有可能存在多个点的与端点的连线平行，如下图所示。

若有，则可推出，那么就变为了。所以说是拉格朗日中值定理的特例，如下图所示。

下面再通过交通管理中的区间测速来理解下拉格朗日中值定理，如下图所示。

假设在点抓拍一次，得到时间点的汽车位移；在点抓拍一次，得到时间点的汽车位移。由此可以算出其平均速度为，也就是端点连线的斜率，如下图所示。

在整个路程中的瞬时速度可能：

• 如果是匀速前进：那么整个路程的瞬时速度必然始终等于平均速度
• 如果是变速前进：那么整个路程的瞬时速度必然有大于、等于、小于的情况

下面是变速前进的动画，某点的斜率就是当时的瞬时速度。为金黄色时瞬时速度大于，为紫色时（也就是平行闪烁时）瞬时速度等于，为红色时瞬时速度小于。

所以如果限速为，而区间测速测出平均速度为，那么根据拉格朗日中值定理，就可以判定路程中必然至少有一个点超速。