虚数$i$是不是真实存在的，这真的不是一个显而易见的问题，而且按照中国教材的编写顺序，数学教育中第一次出现和现实脱离的概念大概就是虚数，这应该是教育中一次很好阐述数学思想的时间和机会。

1 数系的扩展

数系的扩展过程直观上来说就是给数轴“填坑”的过程。

1.1 整数

自然数出现是挺自然的，小孩自然就知道了一个苹果、两个香蕉，去掉苹果香蕉，剩下1、2，就是数学的初步抽象。

这个时候数轴上有没有坑啊？当然有了。

1.2 有理数

数轴上还有坑吗？当然有。

整数与整数的比就是有理数。有理数这个名字翻译的有点意思，英文是rational number，明明是可以翻译为”比例数“（就是整数和整数的比），让我以前一直觉得后面出现的无理数好粗鲁。

1.3 无理数

有了整数和有理数之后，数轴还有没有坑？这个问题真的不那么显然了。任何两个有理数，比如说0.5和0.7，平均值$\frac{0.5+0.7}{2}=0.6$还是有理数，不论这两个有理数之间隔得有多近。就是说任何两个有理数之间不可能相邻，他们之间必定还有有理数。看起来就仿佛在数轴上连绵不断。

$\sqrt2$是第一个发现的无理数，因此还引发了 第一次数学危机 。

我们回头来看看$\sqrt2$，不通过证明我们还真没有办法说明它不是有理数，实际上大多数时候，无理数都需要证明，比如$e$，$\pi $这样有名的无理数，在证明之前我们并不知道它是有理数还是无理数，而且证明难度还不小。

这里稍微提一下，其实无理数的数目要比有理数多得多。我们知道，有理数是无限循环小数，无理数是无限不循环小数。我们直观的来想象一下，我们面前有10个球，上面标着0到9的数字，我们闭着眼睛随机抓取一个球，球上标注的数字就作为小数点后面的第一个数字，把球放回去再抓，就作为第二个数字，无限的抓下去，生成有理数的概率为0（概率学里面，概率为0不并意味着事件完全不可能发生，而是说几乎不可能）。

其实无理数才是常态，有理数才是没有道理的数。

1.4 实数的连续性

现在，数轴上有了整数、有理数、无理数了，数轴上还有坑吗？没有了。

怎么证明？呃，这个证明虽然不复杂，但是有点烧脑，跳过吧，不妨碍后面的讲解。

直观理解连续，就是数轴上没有坑了，再也不可能有别的数了。

实数的连续性是非常重要而且基础的性质，没有实数连续性，函数就不连续，函数不连续，可微可导微积分都没有了，真不知道世界会是什么样子。

再比如，我们想想，有理数是一个个的点，长度为0，就算无数多个有理数加起来，长度还是为0，那么长度是哪里来的？连续的实数才有长度，怎么证明？也无法证明，这是关于连续性的一种性质。

至此，我们把实数称为”完备“。

当然，还有人说，我可以不破坏实数的各种性质，但是可以在实数的缝隙里面加上无穷小量（在上面的实数理论中，无穷小量不是确确实实的数，只是一个概念），就这么创造了新的实数，这种实数自有它的用处，不过目前不是主流。

1.5 数学并非科学

什么是科学？科学很重要的一点是，可以被证伪。比如说我们说水的沸点是100摄氏度，那到底是不是呢？用温度计量了就知道。科学的研究需要用事实来证明或者证伪。

从实数理论来看，我们可以认识到一点，数学并非科学。比如上面说的无穷小量到底是不是数，就可以被随意的定义了，在这个基础上，没有逻辑矛盾的推出了各种理论理论，自然也没有办法证明和证伪。

所以数学会从各种公理出发建立很多分支，不过如果和科学研究脱钩的话，这个分支也不会有很多人去研究它，慢慢也就失去了活力。当然也有很多分支本来也只是少数数学家的玩具，后来被发现可以作为工具进行各种数学研究。现在可能最纯粹的数学只有”数论“了。

想起一个爱因斯坦的公案，爱因斯坦作为一个理论物理学家，工作方式很像是一个数学家，从光速不变这个假设出发，推出了”相对论“，学术界都说，你好牛哦，说的好有道理哦，但是，诺贝尔物理学奖没有办法颁给他，因为证明不了也证伪不了！颁奖委员会当时的心态是”我好想给爱因斯坦颁奖哦“，就在爱因斯坦的研究中找个靠谱的”光电效应“颁奖。

2 虚数是否真是存在？

虚数这个名字，指出了一点，虚数在现实中没有对应物的，是一个人工数。

似乎是人工数就必然不真实，让我们来看看是不是？

2.1 虚数开始是数学家的玩具

古代的数学家也和我们一样，也玩24点，意大利米兰有个数学家叫做卡当，出了一个题，能否把10分成两部分，让它的乘积为40？他给出的答案是，$(5+\sqrt{-15})(5-\sqrt{-15})=40$，这里负数第一次出现在了根式里，不过就好像几何题划的辅助线一样，虽然参与运算，但是并没有意义。数学家也不可能给辅助线专门定义一个概念。

2.2 虚数似乎没有充分存在的理由

虚数$i=\sqrt{-1}$，这个就是$i$的定义。

听它的名字就感觉它是“虚”的：

• 增加的负数可以对应“欠债、减少”
• 增加的分数可以对应“分割、部分”
• 增加的无理数可以对应“单位正方形的对角线的长度（$\sqrt{2}$）”
• 增加的虚数对应什么？

虚数似乎只是让开方运算在整个复数域封闭了（即复数开方运算之后得到的仍然是复数）。

看起来我们没有必要去理会$\sqrt{-1}$到底等于多少，我们规定$\sqrt{-1}$没有意义就可以了嘛，就好像$\frac{1}{0}$一样。

我们来看一下，一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a\neq 0)$的万能公式：其根可以表示为：$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，其判别式$\Delta =b^2-4ac$。

• 有两个不等的实数根
• 有两个相等的实数根
• 有两个不同的复数根，其实规定为无意义就好了，干嘛理会这种情况？

数学家很吝啬的，不会为这点微不足道的好处去增加概念。虚数如果只是让开方可以封闭，运算出来的结果还是虚数，这个理由不充分。

对于数学而言，概念、公理越少越好，越少数学的根基就越稳固。欧式几何的五个公设，两千年来数学家都在企图去证明第五公设，只为了减少一条公设。

2.3 虚数是解一元三次方程的必须工具

我们再看一下，一元三次方程$ax^3+bx^2+cx+d=0(a\neq 0)$，一元三次方程的解太复杂了，这里写不下，大家可以参考 维基百科 ，但愿大家能够打开。

我们讨论一下$b=0$，此时，一元三次方程可以化为$x^3+px+q=0$，其根可以表示为：

$ \begin{cases} x_1=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{(\frac{q}{2})^2+(\frac{p}{3})^3}}+\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{(\frac{q}{2})^2+(\frac{p}{3})^3}}\\ x_2=\omega \sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{(\frac{q}{2})^2+(\frac{p}{3})^3}}+\omega ^2\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{(\frac{q}{2})^2+(\frac{p}{3})^3}}\\ x_3=\omega ^2\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{(\frac{q}{2})^2+(\frac{p}{3})^3}}+\omega \sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{(\frac{q}{2})^2+(\frac{p}{3})^3}} \end{cases} $

其中$\omega =\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}$。

判别式为$\Delta =(\frac{q}{2})^2+(\frac{p}{3})^3$，注意观察解的形式，$\Delta $是被包含在根式里面的。

• 有一个实数根和两个复数根
• 有三个实数根，当$p=q=0$，根为0，当$p,q\neq 0$，三个根里面有两个相等
• 有三个不等的实根！懵了，要通过复数才能求得实根？

要想求解三次方程的根，就绕不开复数了吗？会不会这只是求根的方法之一？这个也被证明了，确实需要通过复数来求解实数根。

求解方程组，确实让人觉得虚数是一个必要的数学工具，但是还是没有揭开它的本质，还不足以让其登堂入室。

2.4 虚数真实存在的理由

这个必须从泰勒公式的收敛性说起，关于泰勒公式可以参看这篇详尽的科普文章：

如何通俗地解释泰勒公式？ 。

2.4.1 $f(x)=sin(x)$的收敛性

在$x=0$点泰勒展开，$\displaystyle \sin x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac{(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}$，级数的收敛范围是$-\infty