如何理解泊松分布？

马同学

如何理解泊松分布？

通过泊松分布解决馒头店老板的烦恼

1 甜在心馒头店

公司楼下有家馒头店：

每天早上六点到十点营业，生意挺好，就是发愁一个事情，应该准备多少个馒头才能既不浪费又能充分供应？

老板统计了一周每日卖出的馒头（为了方便计算和讲解，缩小了数据）：

$\begin{array}{c|c} \qquad\qquad&\qquad销售\qquad\\ \hline\color{SkyBlue}{周一}& 3 \\ \hline \color{blue}{周二}& 7 \\ \hline \color{orange}{周三}&4\\ \hline \color{Goldenrod}{周四}&6\\ \hline \color{green}{周五}&5\\ \end{array}$

均值为：

$\overline{X}=\frac{3+7+4+6+5}{5}=5$

按道理讲均值是不错的选择（参见“如何理解最小二乘法？”），但是如果每天准备5个馒头的话，从统计表来看，至少有两天不够卖， $40\%$ 的时间不够卖：

$\begin{array}{c|c} \qquad\qquad&\qquad销售\qquad&\quad备货五个\\ \hline\color{SkyBlue}{周一}& 3 \\ \hline \color{blue}{周二}& 7&\color{red}{不够} \\ \hline \color{orange}{周三}&4\\ \hline \color{Goldenrod}{周四}&6&\color{red}{不够}\\ \hline \color{green}{周五}&5\\ \end{array}$

你“甜在心馒头店”又不是小米，搞什么饥饿营销啊？老板当然也知道这一点，就拿起纸笔来开始思考。

2 老板的思考

老板尝试把营业时间抽象为一根线段，把这段时间用 $T$ 来表示：

然后把 $\color{SkyBlue}{周一}$ 的三个馒头（甜在心馒头是有褶子的馒头）按照销售时间放在线段上：

把 $T$ 均分为四个时间段：

此时，在每一个时间段上，要不卖出了（一个）馒头，要不没有卖出：

在每个时间段，就有点像抛硬币，要不是正面（卖出），要不是反面（没有卖出）：

$T$ 内那么卖出3个馒头的概率，就和抛了4次硬币（4个时间段），其中3次正面（卖出3个）的概率一样了。

这样的概率通过二项分布来计算就是：

$\binom{4}{3}p^3(1-p)^1$

但是，如果把 $\color{blue}{周二}$ 的七个馒头放在线段上，分成四段就不够了：

从图中看，每个时间段，有卖出3个的，有卖出2个的，有卖出1个的，就不再是单纯的“卖出、没卖出”了。不能套用二项分布了。

解决这个问题也很简单，把 $T$ 分为20个时间段，那么每个时间段就又变为了抛硬币：

这样， $T$ 内卖出7个馒头的概率就是（相当于抛了20次硬币，出现7次正面）：

$\binom{20}{7}p^7(1-p)^{13}$

为了保证在一个时间段内只会发生“卖出、没卖出”，干脆把时间切成 $n$ 份：

$\binom{n}{7}p^7(1-p)^{n-7}$

越细越好，用极限来表示：

$\lim_{n\to\infty}\binom{n}{7}p^7(1-p)^{n-7}$

更抽象一点， $T$ 时刻内卖出 $k$ 个馒头的概率为：

$\lim_{n\to\infty}\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$

3 $p$ 的计算

“那么”，老板用笔敲了敲桌子，“只剩下一个问题，概率 $p$ 怎么求？”

在上面的假设下，问题已经被转为了二项分布。二项分布的期望为：

$E(X)=np=\mu$

那么：

$p=\frac{\mu}{n}$

4 泊松分布

有了 $p=\frac{\mu}{n}$ 了之后，就有：

$\lim_{n\to\infty}\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}=\lim_{n\to\infty}\binom{n}{k}\frac{\mu}{n}^k(1-\frac{\mu}{n})^{n-k}$

我们来算一下这个极限：

$\begin{align} \lim_{n\to\infty}\binom{n}{k}\frac{\mu}{n}^k(1-\frac{\mu}{n})^{n-k}&= \lim_{n\to\infty}\frac{n(n-1)(n-2)\cdots(n-k+1)}{k!}\frac{\mu^k}{n^k}\left(1-\frac{\mu}{n}\right)^{n-k}\\ &=\lim_{n\to\infty}\frac{\mu^k}{k!}\frac{n}{n}\cdot\frac{n-1}{n}\cdots\frac{n-k+1}{n}\left(1-\frac{\mu}{n}\right)^{-k}\left(1-\frac{\mu}{n}\right)^n \end{align}$

其中：

$\lim_{n\to\infty}\frac{n}{n}\cdot\frac{n-1}{n}\cdots\frac{n-k+1}{n}\left(1-\frac{\mu}{n}\right)^{-k}=1$

$\lim_{n \to \infty}\left(1-\frac{\mu}{n}\right)^n = e^{-\mu}$

所以：

$\lim_{n\to\infty}\binom{n}{k}\frac{\mu}{n}^k(1-\frac{\mu}{n})^{n-k}=\frac{\mu^k}{k!}e^{-\mu}$

上面就是泊松分布的概率密度函数，也就是说，在 $T$ 时间内卖出 $k$ 个馒头的概率为：

$P(X=k)=\frac{\mu^k}{k!}e^{-\mu}$

一般来说，我们会换一个符号，让 $\mu=\lambda$ ，所以：

$P(X=k)=\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}$

这就是教科书中的泊松分布的概率密度函数。

5 馒头店的问题的解决

老板依然蹙眉，不知道 $\mu$ 啊？