从解线性方程组开始，最终总结出了行列式。

本节开始介绍线性代数中的另外一个重要定义：行列式。

“行列式”这个名字暗示了这是一种计算规则，那么：

• 定义行列式的目的是什么？
• 定义行列式的思路是什么？
• 行列式的具体定义是什么？

1 定义行列式的目的

历史上，定义行列式的目的就是为了解线性方程组。

下面这个方程组：

从几何上来讲，两个方程都是直线，解就是它们的交点：

通过高斯消元法可以得到唯一解：

一般的，对于二元一次方程组：

如果它有唯一解，那么通过高斯消元法容易得到：

对于三元一次方程组：

如果它有唯一解，同样可以通过高斯消元法得到：

元一次线性方程组的解可想而知，会更加复杂。

简化元一次线性方程组的解，找出其中的规律，在这个过程中产生了行列式。

2 定义行列式的思路

大家可能习惯了这样的数学：

或者矩阵乘法的定义：

以上数学的剧情都是直线发展的。但是行列式的定义思路要曲折些：

有点像经常说的：大胆假设、小心求证。下面来看看这一过程。

3 低阶行列式

二阶行列式是这么定义的，交叉相乘，之后相减：

再看看刚才的二元一次方程组的解：

它的解的分母都是：

套用刚才定义的二阶行列式的符合和规则可以得到：

分子可以分别表示为：

则线性方程的解表示为：

经过验证，这样定义二阶行列式是合理的，可以达到预设的解线性方程组的目的。

比较复杂，可以靠对角线法则进行记忆：

有了三阶行列式的定义，则三元方程组的解：

可以通过三阶行列式来表示：

经过验证，这样定义三阶行列式也是合理的。

4 行列式的定义

阶行列式应该怎么定义？

具体的过程肯定是，数学家们（应该是凯莱、范德蒙这些先驱）废了无数草稿纸，反复验算各阶线性方程组，从中总结出来的。

为了介绍行列式的定义，先引入两个概念。

有如下三个数字：

总共有以下六种不重复的排列方式：

这就是全排列。

比如有这么一个数列：

规定：

• 从小到大为正序
• 否则为逆序

比如：

上图中可以看出，第三个数字5之前，没有一个数字大于它，也就是没有一个逆序的，因为5是第三个数字，所以用下列的符号来表示没有逆序：

再比如，第四个4之前，有一个逆序的：

数列内所有的逆序数为：

这个数列的逆序数定义为：

练习题

数列：

的逆序数为多少？

1 2 3 4

所以：

逆序数为奇数的排列称为奇排列，逆序数为偶数的排列称为偶排列。

一个排列中任意的两个元素对换，排列改变奇偶性。

不妨假设元素为从1开始的自然数（从小到大为标准次序）。

先证相邻对换的情形。

设排列：

很显然，这些元素的逆序数不会改变：

而的逆序数有两种情况：

• ：对换后，的逆序数+1，的逆序数不变
• ：对换后，的逆序数不变，的逆序数-1

总之，对换前后，奇偶性改变。

再证一般对换的情形。

设排列为：

首先：

再：

总共次相邻对换，所以奇偶性改变。

有了全排列和逆序数，就可以来研究下行列式究竟指的是什么算法，也就是行列式的定义是什么？

以三阶行列式为例：

来观察每一项的脚标，脚标第一项都是按照“”排列的：

而脚标的第二项是“”的全排列：

正负号怎么来的呢？是由逆序数决定的：

整个过程为：

三阶行列式可以如下表示：

其中，为排列的逆序数，表示对“”的所有排列“”求和。

下面是行列式的完整定义：

请尝试计算下4阶行列式：

可以先判断一下，关于：

的全排列总共有24个，所以答案会有24项，这种计算比较适合计算机来完成。

这里只是想让大家熟悉下行列式的计算规则，下面是答案，可以抽几项出来验证下正负号是否正确：

如果行列式是百万阶，可以想象有多大的计算量。google发明了专门的并行算法用于计算巨大的行列式。

练习题

已知阶行列式

则展开后，

的符号是还是

先把脚标的第一项按顺序排列：

设：“”的逆序数为：

的符号为。

5

行列式定义出来之后，马上可以来证明一个重要性质：

记：

其中，行列式称为行列式的转置行列式。

有如下重要结论：

证明稍微有点复杂，感兴趣可以查看解答。

为了便于思考，进行符号替换：

替换之后：

因此按照定义：

为了不至于太难以理解，下面用三阶行列式来进行说明：

根据定义，的全排列以及符号为（脚标第一项都是按照“”排列的，第二项是全排列）：

按照之前的分析，需要的全排列以及符号为（脚标第二项都是按照“”排列的，第一项是全排列）：

的全排列：

通过调换顺序，可以得到的全排列：

具体过程如下：

推广到阶行列式，总能通过调换顺序得到（并且这种对应关系是唯一的）：

其中，为全排列的逆序数，为全排列的逆序数。

因此可以得到：

6 克拉默法则

那么上面的阶行列式的定义是否合适？可以用克拉默法则来验收。

加百列·克莱姆（1704 - 1752），瑞士数学家，发现了可以通过行列式解线性方程组的克拉默法则（也称之为克莱姆法则），让行列式成为数学界的共识，是行列式的历史源头。

下面从具体的二元、三元一次方程组说起。

观察二元方程组的解：

再观察三元方程组的解：

可以看到如下规律：

• 分母都是系数组成的行列式
• 分子也是系数组成的行列式，只是对应于不同的，第列被替换为了常数项

练习题

四元一次方程组：

假如有唯一解，猜一下，下面哪个答案是正确的？

根据刚才的总结：

• 分母都是系数组成的行列式
• 分子也是系数组成的行列式，只是对应于不同的，第列被替换为了常数项

所以B选项是正确的，要求分子项的第3列被替换为常数项。

上面的规律推广到元线性方程组的话，就是克拉默法则：

从阶行列式的定义出发可以证明：

在之后的文章会给出证明。

7 习题

练习题

已知

则下式的值为：

解：