矩阵运算(上)--加法与乘法
继续往下讲之前，先把矩阵的运算完善一下，后面会大量用到。
1.1 同型矩阵
简单来说，长得一样的矩阵就是同型矩阵：
两个矩阵的行数相等、列数也相等时，就称它们是同型矩阵。
1.2 矩阵相等
如果
2.1 合法性
需要同型的矩阵才可以相加：
2.2 规则
对应的位置相加即可，和向量的加法规则一样：
2.3 定义
设有两个
矩阵数乘和向量数乘的规则是一样的：
定义为：
数
矩阵
4.1 合法性
乘法规则可以用一幅图总结如下：
说明一下：
-
的矩阵只能和 矩阵相乘 -
相乘后的矩阵大小为
这是有道理的。
我们从高斯消元法中推出了，矩阵乘法是行向量的线性组合：
这样，自然无法进行运算：
只要保证了这一点，其他的随便你增加。
可以随意增加左边的行：
也可以随意增加右边的列：
让我们用一副动图来结束矩阵的运算规则：
则
设
所以
相乘后元素个数最多的矩阵为：
元素个数最多的为
4.2 矩阵乘法
矩阵乘法可以用不同的观点来看待，每种观点有各自的用处，我们下面分别介绍一下。
4.2.1 行观点
之前高斯消元的时候，为了进行行变换，介绍的就是行观点：
行观点的常见应用场景为:行向量
更具体的，行观点表达的是行向量的线性组合
此时矩阵出现乘号的右边，因此也叫右乘
4.2.2 列观点
那么，我们是否可以进行列的组合？
可以的，这就是列观点：
列观点是可以通过行观点推出，我们来试试。
比如我们有矩阵：
通过行观点来进行运算：
其中把
根据向量的运算规则有：
其中
这就推出了列观点。
列观点的常见应用场景为:矩阵
更具体的，列观点表达的是列向量的线性组合
若
此时矩阵出现乘号的左边，因此也叫左乘
4.2.3 点积观点
还有一种非常适合心算的一种观点，就是点积观点：
这也肯定可以从行观点推出，大家可以自己试试。
点积观点的常见应用场景为:行向量
更多的时候用在矩阵与矩阵的乘法。
4.2.4 代数定义
矩阵乘法的代数定义就是通过点积观点给出的：
设
则
关注马同学
微信公众号：matongxue314
