如何理解拉普拉斯变换？
拉普拉斯变换是对傅立叶变换的推广。
拉普拉斯变换是对傅立叶变换的推广，关于傅立叶变换，之前写过三篇文章，可供参考：
简单介绍下傅立叶变换。
1.1 直角坐标、极坐标
大家知道，直角坐标系、极坐标系之间可以相互转换：
在直角坐标系下，圆的方程为：
图示如下：
在极坐标系下，同样的圆的方程为：
图示如下：
如果换到
是不是看上去很简单了，从圆变为了一条直线。
同一个数学对象，在不同坐标系中，有不同的表达形式：
1.2 傅立叶变换
傅立叶变换和直角坐标、极坐标的情况类似，相当于换了坐标系。
矩形波在时域“坐标系”中是这样的：
代数形式如下：
在频域“坐标系”中的图像如下：
代数形式如下（傅立叶变换有很多形式，本文采用下面这种形式）：
也是同一个数学对象，在不同“坐标系”中，有不同的表达方式：
正如在某些情况下，极坐标可以带来计算上的便利，傅立叶变换也可以带来计算上的便利。傅立叶变换难以理解，是因为它所在的“坐标系”更抽象。
傅立叶变换虽然好，但是有一些局限性。我们来看看傅立叶变换的代数式：
其中，
总之它是一个有界量。那么上面式子要可积，至少得：
那，如果
这个
数学家当然不会屈服，至少可以想办法把这个图像拉下来一半：
这样：
为了更好的适应
那么下面积分就可以积了：
令：
其实
这就是拉普拉斯变换。
当然这个扩展也是付出了代价的，只能在
-
在应用中，一般代表时间，时间是非负的 -
可以通过双边拉普拉斯变换延展到负轴
还可以从另外一个角度来看待拉普拉斯变化。
而
傅立叶变换用等幅三角函数：
来逼近原函数，而拉普拉斯用变幅三角函数：
来逼近原函数，这样才能追上高耸入云的
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