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马同学

如何理解置信区间？

置信区间，就是一种区间估计。
置信区间，就是一种区间估计。
先来看看什么是点估计，什么是区间估计。
1 点估计与区间估计
以前很流行一种刮刮卡：
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游戏规则是（假设只有一个大奖）：
  • 大奖事先就固定好了，一定印在某一张刮刮卡上
  • 买了刮刮卡之后，刮开就知道自己是否中奖
那么我们起码有两种策略来刮奖：
  • 点估计：买一张，这就相当于你猜测这一张会中奖
  • 区间估计：买一盒，这就相当于你猜测这一盒里面会有某一张中奖
很显然区间估计的命中率会更高（当然费用会更高，因为风险降低了）。
接下来，我们看看置信区间是如何进行区间估计的。
2 置信区间
我们通过对人类身高的估计来讲解什么是置信区间。
2.1 上帝视角
对于人类真实的平均身高，我们是没有办法知道的，因为几乎不可能把每个人都统计到。
但这个数据肯定是真实存在的，我们可以说，上帝知道。
在这里我们引入了上帝视角，即上帝看到的人类身高的真实分布。
假设人类的身高分布服从如下正态分布（\mu=145,\sigma=1.4）：
X \sim N(145, 1.4^2)
也就是说全体人类的平均身高为145cm，为了表示只有上帝可以看到，我把真实分布用虚线来表示：
2.2 点估计
作为愚蠢的人类，我们只能在人群中抽样统计：
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比如下面是一次抽样数据，我把算出来的样本均值（记作\hat{\mu}）画在图上（蓝色的点）：
\hat{\mu}就是对真实的\mu的一次点估计。
通过一次次的抽样，我们可以算出不同的身高均值的点估计：
如果我们关闭上帝视角，我们分辨不出哪个点估计更好：
区间估计可以改进此问题。
2.3 置信区间
置信区间，提供了一种区间估计的方法。
下面采用95\%置信区间来构造区间估计（什么是95\%置信区间，这个我们后面解释）：
通过95\%置信区间构造出来的区间，我们可以看到，基本上都包含了真实的\mu，除了红色的那根。
关闭上帝视角，我们仍然不知道哪一个区间估计更好：
但是，和点估计比较：
  • 点估计和区间估计，都不知道哪个点或者哪个区间更好
  • 但是，按照95\%置信区间构造出来的区间，随便选一个区间，有95\%的概率会包含\mu
这就好像用渔网捞鱼，我知道每一网下去有95\%的几率捞到想要的那条鱼，但是并不知道是不是现在这一网：
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剩下的问题就是95\%置信区间是如何构造的。
3 95\%置信区间
假设人群的身高服从：
X \sim N(\mu, \sigma^2)
其中\mu未知，\sigma已知。
我们不断对人群进行采样，样本的大小为n，样本的均值：
M=\frac{X_1+X_2+\cdots+X_n}{n}
根据大数定律和中心极限定律，M服从：
M \sim N(\mu, \frac{\sigma^2}{n})
我们可以算出以\mu为中心，面积为0.95的区间，如下图：
即：
P(\mu-1.96\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\leq M\leq \mu+1.96\frac{\sigma}{\sqrt{n}})=0.95
也就是，M有95\%的几率落入此区间：
那自然，我们以1.96\frac{\sigma}{\sqrt{n}}为半径做区间，有95\%的概率把\mu包含进去：
那么，只有一个问题了，我们不知道、并且永远都不会知道真实的\mu是多少。
我们就只有用\hat{\mu}来代替\mu：
P(\hat{\mu}-1.96\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\leq M\leq \hat{\mu}+1.96\frac{\sigma}{\sqrt{n}})\approx0.95
4 总结
总结一下：
  • 置信区间要求估计量是个常数
  • 95\%也被称为置信水平，是统计中的一个习惯，可以根据应用进行调整
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