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马同学

如何理解线性微分方程？

线性微分方程为什么有“线性”这两个字？为什么线性微分方程的通解包含e^x？
刚开始学习线性微分方程的时候，我心中有两个疑问：
  • 线性微分方程为什么有“线性”这两个字？
  • 为什么线性微分方程的通解里面有e^x？
这篇文章就来回答这两个问题。让我们从什么是线性变换开始。
1 线性变换
先直观感受一下什么是线性变换。
1.1 线性变换的几何意义
直观来说，线性变换就是把直线上的点（向量），变换到另外一根直线上去。关于这个问题更具体的解释，请参看文章如何理解相似矩阵的前半部分。
比如下图，把虚线上的点，变换到实线上去：
或者把整个二维平面上的直线换个位置（下面是一个镜面翻转，为了方便观察，标出一个\vec{x_{}}，虚线表示翻转的对称轴）：
1.2 微分算子
我们来看一个不一样的向量，对于多项式函数：
f(x)=1+2x+3x^2
我们以\vec{i_{}}=1,\vec{j_{}}=x,\vec{k_{}}=x^2为基（关于多项式的基，可以参看《线性代数应该这样学》这样的高等代数教材），可以把它转为向量：
f(x)=1+2x+3x^2\implies \vec{f_{}}=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}
画出来图来就是（三个坐标轴分别表示1,x,x^2这三个基，当然这里有点不严格，准确来说，三个基并不是两两正交的）：
我们定义D为微分算子：
D=\frac{d}{dx}
那么有：
D(f(x))=\frac{df(x)}{dx}=2+6x
还可以把D写成一个矩阵（对于更高次的多项式，D的矩阵是类似的）：
D=\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&2\end{pmatrix}
然后通过矩阵来完成求导操作：
D\vec{f_{}}=\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\6\end{pmatrix}\implies D(f(x))=2+6x
从图像上看，就是把通过D矩阵把\vec{f_{}}=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}投影到1-x平面：
这样看来，微分算子D也是一个线性变换。
1.3 代数定义
在数学中，只要符合下面两个性质的就是线性变换（T代表变换)：
  • 可加性：T(\vec{x_{}}+\vec{y_{}})=T(\vec{x_{}})+T(\vec{y_{}})
  • 齐次性：T(a\vec{x_{}})=aT(\vec{x_{}})
上一节中，通过几何展示的线性变换都符合上述两个性质。
比如，我们有两个多项式函数：
f(x)=1+2x+3x^2\qquad g(x)=2+3x+4x^2
那么容易验证，D是一个线性变换：
  • 可加性：D(f(x)+g(x))=D(f(x))+D(g(x))=5+14x
  • 齐次性：D(af(x))=aD(f(x))=a(2+6x)
进一步的，D的多项式组合：
\mathcal{L}=a_0+a_1D+a_2D^2+\cdots+a_nD^n,a_0,a_1,\cdots,a_n\in\mathbb{C}
也是线性变换，这一点可以自行去验证。
2 线性微分方程
既然D的多项式组合\mathcal{L}是线性变换，那么线性微分方程为什么是“线性”的，答案呼之欲出。
2.1 线性微分方程的定义
定义下式为常系数（因为a_0,a_1,\cdots,a_n是常数）线性微分方程：
\mathcal L(y)=f(x)
如果，f(x)=0，则为常系数齐次线性微分方程：
\mathcal L(y)=0
如果，f(x)\ne0，则为常系数非齐次线性微分方程：
\mathcal L(y)=f(x),f(x)\ne0
如果a_0,a_1,\cdots,a_n是x的函数，那么就是变系数线性微分方程。本文不讨论这种情况。
解释一下：
\mathcal{L}(y)=0
可以类比于齐次线性方程：
A\vec{x_{}}=0
所以我们称\mathcal{L}(y)=0为齐次线性微分方程。
不光是可以这么类比，实际上解法都是一样的。我们先来看看齐次线性方程是怎么解的。
2.2 齐次线性方程的解法
对于齐次线性方程：
A\vec{x_{}}=0
我们怎么解？
我们知道，A的特征值和特征向量满足下面这个等式：
A\vec{x_{}}=\lambda\vec{x_{}},\vec{x}\ne 0
那么特征值\lambda=0对应的特征向量\vec{x_{}}必定是A的解。
2.3 \mathcal{L}的特征值、特征向量
那么\mathcal{L}的特征值和特征向量是多少？
根据特征值和特征向量的定义，对于\mathcal{L}=D有：
\mathcal{L}(e^{nx})=D(e^{nx})=ne^{nx}
所以，其特征值为\lambda=n，特征向量为e^{nx}。
啊哈，e^{nx}出现了，为什么线性微分方程的通解里面有e^{nx}，是因为e^{nx}是D的特征向量啊。
同理，对于\mathcal{L}=D^2-2D-8有：
(D^2-2D-8)(e^{nx})=(n^2-2n-8)e^{nx}
所以，其特征值为\lambda=n^2-2n-8，特征向量为e^{nx}。
2.4 解常系数齐次线性微分方程
万事具备，我们开始解方程吧。
对于：
D(y)=0
实在太简单了，y=C,C\in\mathbb{R}。
对于：
y''-2y'-8y=0 \implies \mathcal{L}(y)=(D^2-2D-8)(y)=0
对于此\mathcal{L}，求它的0特征值：
\lambda=n^2-2n-8=0\implies n_1=4,n_2=-2
对应的特征向量为，e^{4x},e^{-2x}，这两个特征向量线性无关，因此得到解为：
y=C_1e^{4x}+C_2e^{-2x}
如果得到的特征值相同，那么就需要另外讨论一下。
2.5 解常系数非齐次线性微分方程
对于非齐次线性微分方程：
(D^2-2D-8)(y)=e^{2x}
可以类比线性方程的解的结构：
马同学高等数学
先求出齐次方程的解，然后根据初始条件得到一个特解y^*，得到：
y=C_1e^{4x}+C_2e^{-2x}+y^*
还有一种做法，因为：
\displaystyle(\frac{1}{2}D-1)e^{2x}=0
所以可以得到：
\displaystyle(\frac{1}{2}D-1)\underbrace{(D^2-2D-8)(y)}_{e^{2x}}=0
得到一个新的齐次线性微分方程，然后根据刚才介绍的方法进行求解。不过这样就需要求解三次方程，或许比特解法复杂一些，这里只是展示一下理解了线性微分方程的含义之后，我们可以更灵活的处理。
3 总结
文章开头的两个问题，现在有了答案：
  • 因为\mathcal{L}是线性的，所以线性微分方程是线性的
  • 因为e^{nx}是\mathcal{L}的特征向量，所以通解里面有e^{nx}
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