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• 如何理解矩阵乘法？
• 如何理解相似矩阵？

线性代数中，把方阵的对角线之和称为“迹”：

为什么叫这个名字啊？翻下字典：

确实，“迹”就是线性变换藏在矩阵中痕迹。

上面那幅图还有个有意思的地方，用了金、篆、隶、楷来写“迹”字，虽然各有千秋，却又“相似”，彷佛在暗示，线代中的“迹”反映出矩阵“相似”这个特征。

本文准备如下来讲解：

• 什么是线性变换？
• 同一个线性变换在不同基下的矩阵，就是相似矩阵
• 相似矩阵的“迹”都相等
• 相似矩阵的“迹”、行列式、特征值的关系

函数我们很早就接触了，直观地讲，就是把轴上的点映射到曲线上（下面是函数，把轴上的点映射到了正弦曲线上）：

还有的函数，比如，是把轴上的点映射到直线上，我们称为线性函数：

如果我们放宽限制，不再只考虑轴上的点，而是考虑整个平面，把平面上某直线上的点映射到另外一条直线上去（注意，不是把整个平面的所有点映射到同一根直线上去）：

这其实也是线性函数，只是一般我们把这称为线性变换。

线性变换虽然说也是函数，但是因为自变量已经不在坐标轴上了，用的形式不好表示了，所以我们用线性变换的独有的表示方式，向量与矩阵：

可见，所谓的矩阵乘法，其实就是线性函数，写成这样子是不是更像函数：

只要回答了下面两个问题，就可以得到这个矩阵（值域、定义域这里就忽略了）：

• 坐标系是什么？这在线性代数里面称为基
• 映射法则是什么？这在线性代数里面称为线性变换

综合上面两点，其实，所谓矩阵就是指定基下的线性变换。

之前提到的线性变换，为了示意整个平面的点都被变换了，我用下面的淡蓝色网格来表示这个线性变换（增加一个参考点方便观察）：

可见，这就是一个围绕蓝点旋转的线性变换，并且作为文章作者，我可以准确的告诉你，所有的点旋转了弧度（蓝点，即中心点也可以认为旋转了弧度）。

我们来看看不同基下的矩阵是什么样子的。

下面我会给出所有具体的数字，你可以去计算一下，省得说我骗你。

标准正交基是，它们所张成的线性空间如下（关于这幅图画的解释，可以参考如何理解矩阵乘法？）：

旋转矩阵在此基下，旋转弧度：

在标准正交基下，用一个旋转矩阵来表示来表示此线性变换：

不是一定要在标准正交基下，我们也可以在下表示这个线性变换：

可见淡蓝色网格代表的线性变换是没有发生变化的，只是基不一样了。

矩阵具体计算出来就是：

其中为：

为什么这么计算，就请查看如何理解相似矩阵这篇文章了。

淡蓝色网格代表的线性变换，在基下为矩阵，在基下为矩阵。

同一个线性变换在不同基下的矩阵，就是相似矩阵，、互为相似矩阵。

这个线性变换，悄悄在这两个相似矩阵、中留下了痕迹，就是它们的主对角线之和相等：

主对角线之和因此称为“迹”。

从另外一个观点来看，我们也可以认为“迹”与坐标无关，也可以说“迹”是相似不变量。

因为，代表同一个线性变换，而根据行列式的意义，行列式代表的是线性变换的伸缩比例。

既然是比例，那么也和坐标无关：

行列式又是一个相似不变量。

根据特征值分解的定义，特征值矩阵：

这里用是为了和之前的进行区别。

可建，和，也是相似矩阵。

无悬念的，对，求特征值矩阵都得到的是同一个（特征向量有所不同，因为在不同的基下）：

特征值是两个复数。

根据，我们可以得到迹为：

行列式为：

更一般的可以得到这两个相似不变量分别为：

• 迹=
• 行列式=

其中是矩阵的特征值。

你的相貌随着年岁变换，我却还能一眼认出，就是因为其中藏着特征。

什么是特征，不被变换所改变的就是特征。

迹、行列式都是相似变换中的不变量，也就是线性变换的特征，现在全部被特征值表示了出来。看来特征值这个名字名副其实啊。