如何理解切比雪夫不等式？
切比雪夫不等式，一个价值百万的问题。
切比雪夫不等式，描述了这样一个事实，事件大多会集中在平均值附近。
比如，假设中国男人平均身高1.7m，那么不太可能出现身高17m的巨人。事实上我们从来没有见过这种“怪物”。
下面结合一个热门话题：“年薪百万”来讲解一下。
站在知乎一眼望去，似乎年薪百万的人到处都是，而且经常有人会提出“怎样才能年薪百万”这样的问题。
我们通过切比雪夫不等式来解答一下，年薪百万到底难不难？
切比雪夫不等式是马尔科夫不等式的特殊情况，所以我们先来看看马尔科夫不等式。
1.1 马尔科夫不等式与直观感受
马尔科夫不等式是这么写的（本文代数只讨论离散的情况）：
其中
我们通过
来感受一下马尔科夫不等式：
可见，越大于平均值，概率越低。
1.2 马尔科夫不等式与年薪百万
看看这个怎么去计算百万年薪的概率。
我随便搜索了下，查到以下数据：
人均收入的标准差，我确实查不到。至少免费的我没有查到，有哪位同学知道望告知。
咱们就用上面的数据近似一下，粗糙的认为：
-
中国人均收入
：51350元 -
人均收入的标准差
：44000元
好，开始我们的计算。根据马尔科夫不等式：
也就是说，最多在20个人中有一个。
全国985院校的录取率是低于
是吗？似乎看起来比例比我想象的更高啊。
1.3 马尔科夫不等式的证明
证明的方式很多，我找了一种我觉得容易理解的方式，不过不是很严格，大家权且当作一种证明思路的说明吧。
试证：
下面的证明虽然是用正态分布来演示的，但是实际是与分布无关的。
之前我们说过，
要扩大这部分面积很简单，就是让曲线
很显然，
通过什么数学方式让
根据下图：
我们很容易得到：
那问题就很简单了，乘上
根据期望的定义有：
显然：
因此有：
综上，得到要证的目标：
其中
切比雪夫不等式是马尔科夫不等式的特殊情况，而且还有进一步的关系：这两个不等式的作者是师生关系。
马尔科夫不等式是以俄国数学家安德雷·马尔可夫命名的。
而切比雪夫不等式是以马尔科夫的老师巴夫尼提·列波维奇·切比雪夫命名的。
2.1 切比雪夫不等式与直观感受
切比雪夫不等式是这么写的：
其中
我们还是通过
可见，越远离平均值，概率越低。
2.2 切比雪夫不等式与年薪百万
根据之前的数据，我们来算下切比雪夫认为年薪百万的概率是多少？
晕倒，切比雪夫认为最多只有千分之二的概率，比之前大大降低。
应该说切比雪夫不等式预测的准确率要远远高于马尔科夫不等式。
2.3 切比雪夫不等式的证明
马尔科夫不等式是这样的：
我们把
很显然等价于：
令
如果我们把人群的收入分布计算出来，我估计应该是个正态分布，那么年入百万的概率就更低了，知乎有人算出来是万分之四。
所以马尔科夫不等式、切比雪夫不等式只是对概率的一个估计，有可能不是很准确，但总比瞎想要准确。
百万年薪固然很难，但是根据贝叶斯定理，或许增加一些条件，可以大大增加概率：
-
接受好的教育，不能就读名校也没有关系，现在网上公开课的资源也很好
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勤奋、并有明确的目标
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要有耐心，数据显示，40左右慢慢达到人生的收入巅峰
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.....
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