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马同学

如何通俗地理解“最大似然估计法”?

最大似然估计说的就是，如果事情发生了，那必然是概率最大的。
我们假设硬币有两面，一面是“花”，一面是“字”。
一般来说，我们都觉得硬币是公平的，也就是“花”和“字”出现的概率是差不多的。
如果我扔了100次硬币，100次出现的都是“花”。
在这样的事实下，我觉得似乎硬币的参数不是公平的。你硬要说是公平的，那就是侮辱我的智商。
这种通过事实，反过来猜测硬币的情况，就是似然。
而且，我觉得最有可能的硬币的情况是，两面都是“花”：
通过事实，推断出最有可能的硬币情况，就是最大似然估计。
1 概率vs似然
让我们先来比较下概率和似然。
为了避免和我们想讨论的概率混淆，我们把硬币的“花”出现的概率称为硬币的参数。
1.1 概率
已知硬币的参数，就可以去推测抛硬币的各种情况的可能性，这称为概率。
比如已知硬币是公平的，也就是硬币的参数为0.5。
那么我们就可以推测，扔10次硬币，出现5次“花”朝上的概率为（抛硬币遵循二项分布，这个就不多解释了）：
{10\choose5}0.5^{5}(1-0.5)^{5}\approx0.25
1.2 似然
正如开头所说，我们对硬币的参数并不清楚，要通过抛硬币的情况去推测硬币的参数，这称为似然。
可以再举不那么恰当（主要模型不好建立）的例子，蹭下热点。
比如我们发现，鹿晗和关晓彤戴同款手链，穿同款卫衣：
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我们应该可以推测这两人关系的“参数”是“亲密”。
进一步发现，两人在同一个地方跨年：
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似乎，关系的“参数”是“不简单”。
最后，关晓彤号称要把初吻留给男友，但是最近在荧幕中献出初吻，对象就是鹿晗：
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我觉得最大的可能性，关系的“参数”是“在一起”。
通过证据，对两人的关系的“参数”进行推断，叫做似然，得到最可能的参数，叫做最大似然估计。
2 最大似然估计
来看看怎么进行最大似然估计。
2.1 具体的例子
我们实验的结果是，10次抛硬币，有6次是“花”。
所谓最大似然估计，就是假设硬币的参数，然后计算实验结果的概率是多少，概率越大的，那么这个假设的参数就越可能是真的。
我们先看看硬币是否是公平的，就用0.5作为硬币的参数，实验结果的概率为：
{10\choose6}0.5^{6}(1-0.5)^{4}\approx0.21
单独的一次计算没有什么意义，让我们继续往后面看。
再试试用0.6作为硬币的参数，实验结果的概率为：
{10\choose6}0.6^{6}(1-0.6)^{4}\approx0.25
之前说了，单次计算没有什么意义，但是两次计算进行比较就有意义了。
可以看到：
\frac{0.25}{0.21}\approx1.2
我们可以认为，0.6作为参数的可能性是0.5作为参数的可能性的1.2倍。
2.2 作图
我们设硬币的参数为\theta，可以得到似然函数为：
L(\theta)={10\choose6}\theta^{6}(1-\theta)^{4}
这样我们就可以作图了：
我们可以从图中看出两点：
  • 参数为0.6时，概率最大
  • 参数为0.5、0.7也是有可能的，虽然可能性小一点
所以更准确的说，似然（现在可以说似然函数了）是推测参数的分布。
而求最大似然估计的问题，就变成了求似然函数的极值。在这里，极值出现在0.6。
2.3 更多的实验结果
如果实验结果是，投掷100次，出现了60次“花”呢？
似然函数为：
L(\theta)={100\choose60}\theta^{60}(1-\theta)^{40}
用0.5作为硬币的参数，实验结果的概率为：
{100\choose60}0.5^{60}(1-0.5)^{40}\approx0.01
再试试用0.6作为硬币的参数，实验结果的概率为：
{100\choose60}0.6^{60}(1-0.6)^{40}\approx0.08
此时：
\frac{L(0.6)}{L(0.5)}=\frac{0.08}{0.01}=8
此时，0.6作为参数的可能性是0.5作为参数的可能性的8倍，新的实验结果更加支持0.6这个参数。
图像为：
很明显图像缩窄了，可以这么解读，可选的参数的分布更集中了。越多的实验结果，让参数越来越明确。
2.4 更复杂一些的最大似然估计
2.4.1 数学名词
下面提升一点难度，开始采用更多的数学名词了。
先说一下数学名词：
  • 一次实验：抛硬币10次，出现6次“花”，就是一次实验。
  • 二项分布：抛硬币10次，出现6次“花”的概率为0.25，出现5次“花”的概率为0.21，所有的可能的结果（比如抛硬币10次，出现11次“花”，这就是不可能）的概率，放在一起就是二项分布
2.4.2 多次实验
之前的例子只做了一次实验。只做一次实验，没有必要算这么复杂，比如投掷100次，出现了60次“花”，我直接：
\frac{60}{100}=0.6
不就好了？
最大似然估计真正的用途是针对多次实验。
2.4.3 上帝视角
为了说清楚这个问题，我引入一个上帝视角。
比如，我有如下的二项分布，\theta为出现“花”的概率（硬币抛10次）：
在实际生活中，\theta往往是不知道的，这里你可以看得到，就好像你是上帝一样。
要提醒大家注意的一点，上面的图像只有上帝才能看到的，包括：
  • 二次分布的柱状图
  • 二次分布的曲线图
  • \theta值为多少
我把只有上帝能看到的用虚线表示，\theta用淡一点的颜色表示：
2.4.4 通过多次实验进行最大似然估计
上面的二项分布用通俗点的话来说，就是描述了抛10次硬币的结果的概率，其中，“花”出现的概率为\theta。
根据上面的二项分布，我进行了6次实验（也就是总共6次，每次抛10次硬币），把实验结果用点的形式标记在图像上（从技术上讲，这6个点是根据二项分布随机得到的）：
这个实验结果，也就是图上的点，是我们“愚蠢的人类”可以看见的了。
可以看到，虽然进行了6次实验，但是却没有6个点，这是因为有的实验结果是一样的，就重合了。
为了方便观察，我把6个点的值用文字表示出来：
上图中的\{4,5,5,2,7,4\}就是6次实验的结果，分别表示：
  • 第一次实验，4次出现“花”
  • 第二次实验，5次出现“花”
  • 第三次实验，5次出现“花”
  • 以此类推
我们用x_1,x_2,\cdots,x_n表示每次实验结果，因为每次实验都是独立的，所以似然函数可以写作（得到这个似然函数很简单，独立事件的联合概率，直接相乘就可以得到）：
L(\theta)=f(x_1\mid \theta)f(x_2\mid \theta)\cdots f(x_n\mid \theta)
f(x_n\mid \theta)表示在同一个参数下的实验结果，也可以认为是条件概率。
下面这幅图，分为两部分，上面除了实验结果外，都是上帝看到的，而下面是通过实验结果，利用似然函数对\theta值的推断：
马同学高等数学
可以看出，推断出来的\theta值和上帝看到的差不多。之所以有差别是因为实验本身具有二项随机性，相信试验次数越多，推测会越准确。
自己动手试试当上帝的感觉吧，下面的\theta滑动条可以拖动哦：
Created with GeoGebra
最大似然估计也是机器学习的一个重要算法，大家是否通过上面的操作，是否感受到了机器是如何学习的？
3 最大似然估计与贝叶斯定理的异同
3.1 相同之处
扔了100次硬币，100次出现的都是“花”，不论是最大似然估计，或者是贝叶斯定理，都认为有必要对之前假设的硬币的参数进行调整。
我在怎样用非数学语言讲解贝叶斯定理？的最后也提出了这个问题。
3.2 不同之处
贝叶斯定理还要考虑，两面都是“花”的硬币本身存在的概率有多高。
如果我的硬币不是精心准备的，而是随机挑选的，那么一枚硬币两面都是“花”可能性微乎其微，几乎就是一个传说。
那么贝叶斯会认为哪怕扔了100次硬币，100次出现的都是“花”，但是因为两面都是“花”的硬币实在太少，那么实际这枚硬币是两面“花”的可能性仍然不高。
关于这点可以参考文章：什么是贝叶斯推断，beta分布？
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