8月23日二元函数的基本定义
1 前言
这篇文章从几何方面对二元函数的连续性、偏导、微分等进行了描述。
2 二元函数的连续性
空间中的曲线，它上面的点是连续的吗？
从定义出发，一个点连续指该点自变量变化很小时，该点的函数值也变化很小。
连续函数应该是这样的
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空间中的曲线是这样的。
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自变量变化很小时，函数值从有变成了没有。这个变化比变成了无穷大还过分吧。
所以说空间中的曲线不是连续函数。
空间中的曲线就好比是山间的一座独木桥，看似连续到对岸，但在桥上走错一步就会落下。所以它不是连续的。
3 二元函数的偏导数
对于求偏导，我们常听到这样的说法:求x的偏导就是将y看作常量，求y的偏导就是将x看作常量。
怎么来理解这个问题，我们先来看看求一点的偏导的几何意义。
以求x的偏导为例：
用$y=y_0$平面去切原平面，就是求该点在切口曲线上的导数。
我们可以将所切的平面看做一个一元函数。
横坐标为x，纵坐标为z
$A=(x_0,y_0,z_0)$点x偏导存在，就是说函数与被$y=y_0$所截得的曲线，在$y=y_0$平面可导。
4 二元函数可微
二元函数可微，等价于存在切平面。
首先了解一下切平面的定义：
切平面最粗暴的定义：在曲面上通过点M且在点M处具有切线的任何曲线，它们在点M处的切线都在一个平面上。这个平面就称为曲面的切平面。
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再来看一个比较容易理解的定义：设p是曲面S上的一点，M是通过点P的一个平面， 曲面上一点Q，他到P点的距离为d，到平面M的距离为h，若当Q以任意方式趋近P时，有$\frac{h}{d} \to 0$,这称平面M是曲面S在P点的切平面。
为什么满足$\displaystyle \lim _{d \to 0}\frac{h}{d} \to 0$就可微呢?
设这个切面的法向量为$\vec{n}=(A,B,1)$,那么平面方程：$A(x-x_0)+B(y-y_0)+z-z_0=0$
h的分子和可微的条件$\Delta z=A\Delta x+B\Delta y+o(p)$形式上是不是很像。
大家有兴趣可以去尝试一下用可微的定义来证明。
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