为什么矩阵行秩等于列秩？

马同学

为什么矩阵行秩等于列秩？

之前我的文章讲到过矩阵的秩，其实主要讲得是列秩。

虽然，矩阵的秩=列秩=行秩，但是究竟，多亏大家宽容，当时是含混过去了。

今天我就想来直观的回答一下，为什么行秩=列秩，还掉之前欠下的帐。

1 行秩和列秩

我们来看看这个矩阵：

$$A=\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 3 & -2 \end{bmatrix}$$

以$A$的列向量为基：

可以得到$A$的列空间（灰色网格表示空间，具体的可以看下这篇文章）：

而列秩指的就是列空间的维度，可以看出来，这里为2。

以$A$的行向量为基：

可以得到$A$的行空间：

而行秩指的就是行空间的维度，可以看出来，这里也为2。

行空间、列空间的形状差异巨大，从图像上很难直观的看出行秩、列秩一定相等。

不过大家可以通过操作矩阵来感受下，行秩、列秩一定相等（为了方便观看，我使用了单位平行四边形来代替空间的网格）：

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2 矩阵乘法的计算

为什么会相等？要证明这个问题，我们就需要找到一个把行空间、列空间关联起来的办法。

矩阵的乘法就是提供了这样的一种办法。

2.1 两种矩阵乘法的计算方法

2.1.1 列向量的线性组合

这是我最喜欢的一种计算方法，我在如何理解矩阵乘法中就是用的这个方法，这里简单介绍一下，详细的请看前文。

比如对于：

$$\vec{x_{}}=\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}$$

我们可以写作：

$$\vec{x_{}}=x\vec{i_{}}+y\vec{j_{}}$$

其中$\vec{i_{}}=\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix},\vec{j_{}}=\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}$，即单位正交基。

这样$\vec{x_{}}$的几何意义就是：

而$A\vec{x_{}}$可以看作：

$$A\vec{x_{}}=\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}\vec{x_{}}=x\vec{i_ c}+y\vec{j_ c}$$

其中$\vec{i_ c}=\begin{bmatrix} a \\ c \end{bmatrix},\vec{j_ c}=\begin{bmatrix} b \\ d \end{bmatrix}$，即$A$的列向量。

所以$A\vec{x_{}}$可以看作，$A$的列向量的线性组合，其几何意义为：

2.1.2 行向列的点积

$A\vec{x_{}}$的另外一种计算方法是：

$$A\vec{x_{}}=\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}\vec{x_{}}=\begin{bmatrix} \vec{i_ r}\cdot \vec{x} \\ \vec{j_ r}\cdot \vec{x} \end{bmatrix}$$

其中$\vec{i_ r}=\begin{bmatrix} a & b \end{bmatrix},\vec{j_ r}=\begin{bmatrix} c & d \end{bmatrix}$，即$A$的行向量。

所以$A\vec{x_{}}$还可以看作，行向量和$\vec{x_{}}$的点积，它的几何意义虽然不明显，但也是有的，我们后面会用到。

2.2 小结

这两种计算方法得到的值肯定是一样的，只是一个从列向量的角度来看，一个从行向量的角度来看。

列空间、行空间是由列向量、行向量构成的，所以矩阵乘法的不同角度，给我们的后面推论做好了准备。

3 列秩等于行秩

我们通过$A\vec{x_{}}=0$这个方程，作为我们之后推论的桥梁。

为什么选择这个方程？至少一定有解（0肯定是这个方程的解）。$A\vec{x_{}}=\vec{b}$就不一定有解了（可以参看我的文章：矩阵的秩与解的关系），不方便我们后面的推论。

3.1 通过列向量解方程

比如$A=\begin{bmatrix} cos(\theta ) & -sin(\theta ) \\ sin(\theta ) & cos(\theta ) \end{bmatrix}$为旋转矩阵，矩阵的列空间的秩为2（$\vec{i_ c},\vec{j_ c}$代表列向量）：

可以看出，通过这个旋转矩阵的变换，$A\vec{x_{}}=0$的解只能是0，也就是原点：

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这个解实际上也是一个空间，我们称为零空间（也就是$A\vec{x_{}}=0$的解）。

零空间里面只包含原点，所以它的秩为0。

对于$A=\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}$，它的列空间的秩为1:

整个空间从二维变为了一维，有个维度消失到哪里去了？我们可以直观地认为消失到0点，也就是消失到了零空间：

Created with GeoGebra

整个绿色线段上的点，都被压缩到了0点，也就是说$A\vec{x_{}}=0$的解，也就是零空间，是一条直线。

如果$A=\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$，它的列空间的秩为0，也就是说整个二维空间藏进了零空间：

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3.1.1 小结

通过从列向量来解$A\vec{x_{}}=0$这个方程，我们可以得到以下结论：

列空间的秩，就是列空间的维度
列空间消失的维度，藏到了零空间里面去

因此，假如$A$为$n$维方阵，那么列空间的秩$rc(A)$，与零空间的秩$rk(A)$的关系如下：

$$n=rc(A)+rk(A)$$

3.2 通过行向量解方程

从行向量的角度来看$A\vec{x_{}}=0$：

$$A\vec{x_{}}=\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}\vec{x_{}}=\begin{bmatrix} \vec{i_ r}\cdot \vec{x} \\ \vec{j_ r}\cdot \vec{y_{}} \end{bmatrix}=0$$

其中$\vec{i_ r}=\begin{bmatrix} a & b \end{bmatrix},\vec{j_ r}=\begin{bmatrix} c & d \end{bmatrix}$。

也就是说：

$$\vec{i_ r}\cdot \vec{x}=0,\vec{j_ r}\cdot \vec{x}=0$$

几何意义就是，$\vec{x}$和整个$A$的行空间正交（与所有的行向量正交，自然也就和行空间正交了）。

我们来看看例子，对于旋转矩阵的行空间为：

受到二维空间的限制（二维空间即是方阵$n$的大小），要正交于整个平面，我们可以认为只能是点。

对于$A=\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}$，$A$的行空间是一条线，同样受到二维空间的限制，那么垂直于行空间的所有向量都满足$A\vec{x_{}}=0$，只能是一条线：

对于$A=\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$，它的行空间的秩为0，也就是一个点，我们可以认为整个面都垂直于该行空间。

我们进一步看看三维中的情况。

三维中的一个面，可以找到一个线与之垂直（并且这根线，和平面上所有的线都垂直）：

你可能认为三维空间中，平面可以垂直于平面，但是指的是两个平面的二面角为直角，并不是每根面上的直线都相互正交。

3.2.1 小结