对于这样的微分方程：

其中，，我们称为常微分方程。

求解常微分方程是有明确的几何意义的。我们下面就通过它的几何意义，来观察什么是通解、特解以及所有解。

是有明确的几何意义的：

在这个曲线上取几个点，作出点附近的切线：

根据微积分的思想，“以直代曲”，切线就是代替曲线的最佳直线。

所以我们可以看到，如果曲线上的点密集一点，切线就看起来很接近曲线了：

我要是把曲线去掉，你大概也能根据切线脑补出曲线的样子：

求解常微分方程的几何意义就是，根据切线画出曲线。

欧拉，给出了一个以他名字命名的欧拉方法，可以通过切线来画出曲线。

怎么作出切线呢？这个就是导数的方程，把导数作为斜率就可以画出切线。

我们举个最简单的例子吧，。我们随便选一点作为起始点：

不断重复以上步骤，我们可以得到一个折线段：

容易知道是的一个解，我把画出来看一下，会发现这两个的图像还是有点接近：

随着的缩小，图像就越来越接近（为了方便观看，我把点给去掉了）：

欧拉方法就是这样通过切线来把原来的曲线描绘出来的，这些连起来的折线，我们就称为欧拉折线。

欧拉折线肯定和曲线是有误差的，就好像泰勒级数和原来的曲线有误差一样，这里就不深入讨论了。

欧拉方法计算量其实还蛮大的（越小计算量越大），不过好歹人手还可以算。

有了计算机之后，我们就可以不管计算量了，所以就有了更有效的线素场。

其实说来也简单，我在平面上等距离取点：

然后以这些点为起点，根据画出切线，这就是线素场（或者称为斜率场）：

结合欧拉折线和线素场，我们就可以开始分析通解、特解和所有解了。

我们通过来继续讲解。这个微分方程的通解还是很容易求的，就是：

知道通解之后我们通过图像来验证下。

指定的位置，可以画出不同的欧拉折线（大家可以观察到，有了线素场之后，就算没有欧拉折线，我们大概也可以脑补曲线的样子）：

不同的，就相当于不同的初始值。不同的初始值得到的欧拉折线都是的一个特定的解（这里不用特解这个词，因为同济大学的书上的定义，特解是通解的一个特定解）。

这些对应：

这些对应：

容易观察到，还有一个解是通解里面没包含的，这就是：

你可以手动拖动下，看看可以得到怎样的解：

至此，我们可以得到以下结论：

• 微分方程往往有无数多个解
• 有一些解，可以写成的形式，其中为任意常数，称为通解
• 对于通解，特定的初始值，可以得到一个特解
• 通解并不包含所有解

具体到刚才举的函数就是：

有的同学说，如果我把的通解写作：

是不是通解就包含所有解的？

让我们来看看是如何求解的：

此时，是任意常数。然后我们做个变形：

注意，此时的。

所以，按照书上的定义，并不能称为通解。

当然，让，正好可以得到这个解，实际上是一个巧合。

让我们另外举一个例子，就可以规避这种巧合：

自己动手来试试这个微分方程（橙色曲线是某个特解，可以通过拖动条来改变；蓝色曲线是欧拉折线，可以拖动来改变）：