散度和旋度的物理意义是什么
散度，就是下雨的强度。
我在数学书中看到散度和旋度的时候，如果不结合物理来理解这两个数学公式的话，不过是平平无奇的曲线积分、曲面积分的一个应用而已。数学书上提到这两个公式的目的应该也是为了加深对曲线积分、曲面积分的理解。
有句名言怎么说的来着：
数学没有物理是瞎子，物理没有数学是跛子
下面就让我们结合物理来理解下散度和旋度。我是学数学的并非学物理的，我之后涉及的物理知识很可能是非常直觉的、不严格的，望大家多多包涵。
要理解散度，先要理解通量。
1.1 通量
通量简单来说，就是单位时间内通过的某个曲面的量。
1.1.1 太阳辐射与通量
听起来有点抽象，我们举个例子：
我们都知道，人类离不开太阳。因为每时每刻我们都在接收太阳带给我们的能量。那太阳每秒钟到底会向外辐射多少能量呢？
一种比较直观的办法，就是计算到底有多少能量通过太阳的表面。什么意思呢？
这个有着耀眼光芒的就是太阳：
为了方便观看，我们只看它在二维平面上的投影图，这并不影响我们的讨论：
太阳每时每刻都在向外辐射能量。
沿着太阳表面，作一条封闭曲线（其实是封闭的曲面，因为太阳实际上是一个球体）：
粗略来说，我们把曲面上的
但是这里有个细节问题，
1.1.2
这里用太阳辐射的模型不太好说明，我们换一个模型来描述。
我有一间房子，请无视我的灵魂画法：
为了方便数学建模，我把它表示为一个多边形：
屋外下着垂直于地面的雨滴：
如果屋顶有一个天窗忘了关，地面就会有一滩水渍：
如果是侧面的屋顶有同样大小的天窗忘了关，地上的水渍就会小一些：
如果是在垂直的墙壁上的窗户忘了关，可以想见，地上是不会有水渍的。
可以观察到，水渍在雨水和窗户垂直的时候取到最大值，相切的时候取到最小值。在中间的时候水渍的大小是窗户在与雨水垂直方向的投影。
所以我们只需要关注
1.1.3 小结
根据上面所述，通量就是把曲面上的
我们很容易推出，对于曲面
1.2 散度
实际上还有一种计算太阳表面辐射的办法，只是这个办法有点局限性，如果我们计算的表面不封闭的话就不能用，比如下面这样只计算一半的曲面的通量的话就不能使用：
为什么不能用？你看了后面的讲解就可以知道了。
我们知道，其实太阳之所以会产生辐射，是因为太阳内部随时都在发生核聚变。
当然了，每时每刻有许许多多的点都在发生核聚变。
粗略地说，因为我们要计算整个太阳表面的辐射，每个点核聚变产生的辐射最终都会穿过太阳表面，因此我们把每个点的辐射加起来就可以得到太阳的表面辐射，即通量了。
当然，如果我们像之前说的一样只计算太阳一半的表面辐射的话，那么我刚才说的就不成立了。
为了通过这个思想来计算通量，我们就需要知道每个点的辐射强度（这其实就是高斯公式了），那么如何计算每一点的辐射强度呢？
根据微积分的基本思想，把将之前的封闭曲面缩小到极限为0，即几乎和辐射点重合时，用此时的通量，除以封闭曲面所围体积，就能得到此点的强度：
而此点的辐射强度就是散度。
所以散度的公式我们也很好推导，假设要求在向量场
其中，
1.3 散度以及通量的符号
介于散度和通量的关系，所以下面就只介绍散度的符号，通量是一样的道理。
比如对于太阳中正在进行核聚变的点：
太阳中，有些点并不产生核聚变（有可能此点是真空），辐射只是经过此点：
而黑洞，能量进去了就不会出来，那么它的散度就为负。
好了，以后说“正能量”，可以文艺点说，“散度为正”。
环流量、旋度和通量、散度挺像的，下面的讲解就比较简略了，可以对比理解。
中国有句名言叫"水能载舟，亦能覆舟"。描述的是水的威力。
不过水不仅能使船上下颠簸，而且还能让船旋转。
为了描述旋转，我们就有了环流量和旋度。
2.1 环流量
环流量简单来说，就是单位时间内环绕的某个曲线的量。
我下面描述的都是在二维向量场中的情况，三维向量场中的情况类似，但是要更复杂一些。
比如，这是一汪湖水，其中箭头所指方向为水流方向，长短为水流的力量大小：
要计算一艘船在水流中受到多少旋转的力，就把这艘船丢到水里去。
船的轮廓曲线抽象为封闭曲线，我们称为
单位时间内，这艘船在水场中受到旋转的力就称为环流量。
对于一个圆，我们可以比较直观的感受到：
所以和通量类似的，我们只需要切线方向的力：
因此整个环流量的表达式为：
2.2 旋度
类似于通量，我们也可以把各个点环流量的强度加起来，得到环流量。
而通过不断缩小封闭区域就可以得到环流量的强度，即旋度：
直观的，不严谨的，我们可以把旋度看成一个小漩涡。
我们也很容易推出旋度的表达式，
其中，
当然，旋度还有方向，下面再解释一下方向。
2.3 方向
旋转都是有方向的，那么封闭曲线是顺时针还是逆时针旋转呢？
先看看什么是右手定则：
大拇指所指方向为旋度的方向，知道大拇指的方向就知道封闭曲线是顺时针还是逆时针旋转了。
维基百科上有一幅图特别直观，一架农业飞机翼尖激起的气流。烟雾成顺时针或逆时针方向运动，对应的旋度在飞机前行的方向上：
通过物理来理解这四个概念还是比较容易的。
-
通量是单位时间内通过的某个曲面的量
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散度是通量强度
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环流量是单位时间内环绕的某个曲线的量
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旋度是环流量强度
其实，这些概念本来就是在物理学领域产生的，物理学家发明完了之后，就问数学家，“您看怎么计算？”
数学家翻一翻白眼，你知不知道这得死多少脑细胞！！
为了计算这些，又吭哧吭哧的发展出了各种曲线、曲面积分，格林、高斯、斯托克斯等公式。哎，收拾残局的总是数学家。
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