不同于《高等数学》书中的方法，本文通过线性变换的思想来推导一下曲面积分公式。

先明确下问题。

1 曲面面积公式

对于一个三维的光滑曲面$S$，有：

$$\displaystyle \mathop {\iint }_{S}dS=\mathop {\iint }_{D_{xy}} \sqrt{1+(\frac{\partial f}{\partial x})^2 +(\frac{\partial f}{\partial y})^2}\mathrm{d}x\mathrm{d}y$$

其中$D_{xy}$是$S$在$xy$平面的投影。

我们来看一下这个公式是怎么推出来的。

2 基本思想

比如$S$是这么一个三维光滑曲面：

将曲面无限细分为$n$份，每一份的面积我们姑且认为就是$dS$（严格来说，在积分里$dS$是没有什么几何意义的，不过出于直观理解为面积是可以的）：

所以$\displaystyle \mathop {\iint }_{S}dS$的意思是把所有的$dS$累加起来，就得到了$S$的面积。

微积分的思想就是“以直代曲”，比如说在一元的时候：

从一元开始推广到多元这个思想依然成立。从这个思想出发，我们要找到$dS$的直。

我在某个切分出来的小块，比如叫做$S_ i$吧，在其中随便找一个$A$点，做此点的切平面：

此块切平面的面积我们记作$dA$：

切平面$dA$实际上是$dS$的微分（这一点可以参看我的答案 如何理解全微分 ），根据微分的定义有：$dA\approx dS$，并且有：

$$\displaystyle \mathop {\iint }_{S}dS=\mathop {\iint }_{S}dA$$

这就是“以直代曲”，在积分中，可以直接用切平面来代替原曲面。

下面我们来看下$dA$怎么计算。

3 通过线性变换来计算$dA$

下面我的解释为了直观牺牲了严格性。

关于线性变换可以参考下我另外一个答案： 行列式的本质是什么？

简单来说呢，线性变换可以把一根直线变成另外一根直线：

在三维中，也可以把一个平面变为另外一个平面：

$dA$在$xy$平面上的投影为$dD_{xy}$：

$dD_{xy}$通过线性变换可以得到$dA$，而这个线性变换就是导数，关于这点可以参看我的回答 如何理解导数的概念 。

这里需要补充说明的一点是，$dD_{xy}$实际是通过仿射变换可以得到$dA$的，不过这点并不妨碍我后面的说明。关于仿射变换可以参看我的回答： 如何理解仿射变换？

那么如果能知道$dD_{xy}$的面积，再进行线性变换就能得到$dA$的面积了（这里把$dA$即当作面积，也当作了小方块的代称，请根据上下文理解）。

4 具体做法

$dD_{xy}$的面积计算：

同样的可以算$dA$的面积：

刚才我说过，这里面的线性变换T实际上就是导数，也就是雅可比矩阵，因此我们可以完成下面的推导：

我们可以得到：

$$dA=|\overrightarrow {du}\times \overrightarrow {dv}|= ||(-\frac{\partial f}{\partial x}dxdy,-\frac{\partial f}{\partial y}dxdy,dxdy)||= \sqrt{1+(\frac{\partial f}{\partial x})^2+(\frac{\partial f}{\partial y})^2}dxdy$$

从而得到我们的曲面面积公式：

$$\displaystyle \mathop {\iint }_{S}dS=\mathop {\iint }_{S}dA=\mathop {\iint }_{D_{xy}} \sqrt{1+(\frac{\partial f}{\partial x})^2+(\frac{\partial f}{\partial y})^2}\mathrm{d}x\mathrm{d}y$$