格林公式是计算平面积分的基本定理。它的发明人是乔治·格林，如下图左侧所示。乔治·格林 40岁才考上了剑桥的本科生，后来留任在剑桥的凯斯学院。

为了纪念他以及这个重要的公式，凯斯学院有一扇窗户上画了关于格林公式的一幅图，如上图右侧所示。该图阐述了格林本人推导格林公式时的思路，该思路相比的严格证明更加自然、易于理解，我们来对比学习一下。

格林公式既然是计算“平面积分”的基本定理，我们先来看看什么是平面积分。

二重积分可以直观地理解为曲顶柱体的体积，如下图左侧所示。为避免局限思维，这里也去掉其中的几何意义，简单地将看作定义在区域上的函数，如下图右侧所示。

从而二重积分可以视作在平面区域上的积分，简称为 平面积分 。

研究平面积分先搞清楚边界，通过例子来了解一下。对于如下图左侧所示的单连通域，其边界是周围的黑实线，通常记作。而对于如下图右侧所示的复连通域，其边界包含外部黑实线和内部黑实线。

平面区域的边界也可看作有向曲线，其正向规定如下：想象一个小人沿行走，若其左边为内部则该行走方向就是正向。据此，下图左侧中的箭头所指就是的边界的正向。同样的，可据此标出下图右侧中复连通域的边界的组成部分和的正向，这里为了帮助理解的正向，也画出了帮助判断的小人。

乔治·格林想要计算的是，为了方便后面的讲解，这里记闭合有向曲线围成的闭区域为，且和处于力场中，如下图所示。

然后乔治·格林将闭区域划分为很多个小格子，如下图所示。

这么做的原因是因为乔治·格林发现，如果在每个格子的边界上计算曲线积分，相邻的边界会相互抵消。以下图中的个蓝色格子为例，内部灰色边界上有一对方向相反的积分，也就是黑色箭头所指方向上的积分，这两者会相互抵消；而外部黑色边界上只有一个方向的积分，也就是红色箭头所指方向上的积分，该积分会被保留下来。

也就是说在这个蓝色格子上计算曲线积分并且相加起来，得到的是外部正向边界上的曲线积分，如下图所示，这里用红色描出了外部正向边界。

如果计算内所有的小矩形格子上的并且相加起来，就会得到下图中红色边界上的。

如果将划分为更多个小格子，然后计算内所有的小矩形格子上的并相加，就会得到下图中红色边界上的。

可以看到随着小矩形格子的增多，红色边界会逐渐逼近有向曲线，相应的红色边界上的也会逼近乔治·格林想要的计算结果，最终当小矩形格子的个数，并且这些小矩形格子的最大直径时，可以求出。

思路解释清楚了，下面来计算单个小矩形格子的曲线积分，以下图中的小矩形格子为例，个顶点分别为、、和。

注意到力场在方向的分力与有向直线、垂直，从而在这两条直线上不做功；及力场在方向的分力与有向直线、垂直，从而在这两条直线上不做功。结合上对坐标的曲线积分的计算法，可如下计算在正向边界上的曲线积分：

简写一下，上面的推导得到了如下结果：

按照最上面解释的思路，将闭区域划分为更多的小矩形格子，当这些小矩形格子的最大直径时，结合上单个小矩形格子的计算结果，就可以得到格林公式：

par 我们知道和，两者的计算都只和端点有关，如下图所示。端点其实就是直线、曲线的边界，所以换句话说，两者的计算都只和边界有关。

而说的就是平面积分可通过其边界的积分来计算，如下图所示。

和上述两个积分的基本定理相比，所以也称为 平面积分的基本定理 。