同学们大家好，今天我们来讲解一个范德蒙行列式的应用--插值

插值问题是天文领域中，经常碰到的一个数学问题。比如某天文爱好者，每天都观察火星离地球的距离。星期一，星期二，星期四，星期五天气不错，成功观测到了数据,分别是3万公里，5万公里，2万公里与4万公里(数字纯属虚构)。但星期三因为有雾霾，没有观测到数据。

下面，我们希望利用星期一，二，四，五的数据，求出星期三的数据。这种，通过已知的离散数据求未知数据的过程或方法就称为插值

下面。我们以横坐标为日期，纵坐标为距离，建立一个坐标系。然后将表格中的数据表示在坐标系中

根据常识，火星一定是连续运动的，会形成一个运动轨迹。而我们现在已知的4个点，必定在这个运动轨迹上。

只要我们将轨迹求出来，那我们就可以根据它，求出星期三时的距离。

因为要穿越的已知点是4个，那么可以假设描述轨迹的曲线为3次多项式

将四个点的值带入多项式，可以得到如下方程组

可以看到此时系数矩阵的行列式，就是范德蒙行列式

下面我们就依靠范德蒙行列式来求解方程。

解:(1)根据，可以得到系数矩阵

因为系数矩阵不为零。可知方程组有唯一解

  (2)根据可知

其中

这样就可以计算出

  (3)将的值带回多项式，可以得到曲线的表达式为

有了曲线的表达式，我们可以很容易的计算出，当时，

也就是说，根据插值，我们计算出星期三火星距离地球为3.5万公里

插值的方法有很多，除了本文介绍方法外，还有牛顿插值法、拉格朗日插值法等。感兴趣的同学，可以在我们的微信公众号《马同学图解数学》中，回复相应关键字查看