如何理解函数极限的定义

马同学

如何理解函数极限的定义

1 开篇

说起极限，大家都有画面感，比如我们要求图像在 $x_0$ 处的极限：

假如自变量无限接近 $x_0$ ，函数值无限接近一个确定的实数，那么这个确定的实数 $L$ ，就是函数的极限

关键是如何定义什么叫无限接近，在这个视角下，我们觉得足够接近了

我们可以将它放大，还可以继续加点：

究竟怎样才算无限接近呢？这个问题困扰了数学家很长时间，最后由德国数学家，现代分析之父魏尔斯特拉斯给出了定义。

2 定义解释

定义 .设函数 $f(x)$ 在 $\mathring{U}(x_0)$ 上有定义。如果对任意 $\epsilon > 0$ ，存在 $\delta > 0$ ，使得对任意 $x\in\mathring{U}(x_0,\delta)$ ，有：
$|f(x) - L| < \epsilon$
那么就称 $L$ 是函数 $f(x)$ 当 $x\to x_0$ 时的极限，或者称当 $x\to x_0$ 时函数 $f(x)$ 收敛于 $L$ ，记作：
$\lim_{x\to x_0}f(x)=L\quad 或\quad f(x)\to L(x\to x_0)$
如果不存在这样的常数 $L$ ，就说当 $x\to x_0$ 时函数 $f(x)$ 没有极限，或者说当 $x\to x_0$ 时函数 $f(x)$ 是发散的，习惯上也说 $\lim_{x\to x_0}f(x)$ 不存在。

这定义内容看着挺多的，其实重要的就是前面两句：

设函数 $f(x)$ 在 $\mathring{U}(x_0)$ 上有定义。如果对任意 $\epsilon > 0$ ，存在 $\delta > 0$ ，使得对任意 $x\in\mathring{U}(x_0,\delta)$ ，有：

$|f(x) - L| < \epsilon$

如果这两句都满足，极限就存在。那么它们在说什么呢？我们来看一下

2.1 符号

首先看，这里面有一个符号 $\mathring{U}$ ，它出现了两次，一次被记作 $\mathring{U}(x_0)$ ，一次被记作 $\mathring{U}(x_0,\delta)$ ,它们都被称为 $x_0$ 的去心邻域，什么意思呢？

我们以 $x_0$ 为中心，作出一段区域，这个区域被称为 $x_0$ 的邻域，记作 $U(x_0)$ ，如果关心邻域的半径，也可以将这段区域记作 $U(x_0,\delta)$

其它条件保持不变，去心邻域就是在邻域的基础上，拿掉 $x_0$ 这个点，此时被记作 $\mathring{U}(x_0,),\mathring{U}(x_0,\delta)$

2.2 变量

这两句话中还有两个变量, $\delta$ 和 $\epsilon$ ,其中 $\delta$ 是去心邻域的半径，根据描述，函数在 $\mathring{U}(x_0,\delta)$ 上有定义

而函数 $f(x)$ 与极限 $L$ 距离的满足

$|f(x)-L| < \epsilon$

因此 $\epsilon$ 是函数 $f(x)$ 与极限 $L$ 距离的上限，要将它表示出来，我们可以以 $L$ 为中心， $\epsilon$ 为半径，作出一个区域,显然，此区域内的点都满足：

$|f(x)-L| < \epsilon$

现在我们将定义中的变量、符号都翻译了一下，画出了上面这个图像，那是不是它就可以反应出函数极限的概念了呢？当然不是，我们还要将几句话连在一起进行理解。

2.3 理解

设函数 $f(x)$ 在 $\mathring{U}(x_0)$ 上有定义。如果对任意 $\epsilon > 0$ ，存在 $\delta > 0$ ，使得对任意 $x\in\mathring{U}(x_0,\delta)$ ，有：

$|f(x) - L| < \epsilon$

这句话中最重要的就是对任意 $\epsilon > 0$ ，存在 $\delta > 0$ ，就是任意一个 $\epsilon$ ，都能找到对应的 $\delta$ ，使去心邻域内的函数都满足 $|f(x)-L < \epsilon|$

从图中可以看到，随着 $\epsilon$ 变小，我们总能找到合适的 $\delta$ ，使得去心邻域内的图像都在区域内。因此极限为 $L$ ，记作：

$\lim_{x\to x_0}f(x)=L$

定义介绍完了，下面我们来看一道具体的例题熟悉一下：

3 例题

例：已知 $f(x)=\frac{1.7x-0.1x^2}{x}$ ，求 $\lim_{x\to 0}f(x)$

3.1 分析

先画出图像

根据定义，如果极限为 $L$ ，那么对于任意的 $\epsilon$ ，都能找到 $\delta$ 满足：

$|f(x)-L| < \epsilon$

第一步，我们要猜测 $L$ 是多少，方法就是计算 $f(x)$ 趋于0时，函数值趋于哪个值，我们取几个点计算，结果如下：

$\begin{array}{l|l} \hline \quad x \quad\quad&\quad f(x)\quad \\ \hline \\ \quad1 & \quad1.6\\ \quad0.1 & \quad1.69\\ \quad0.01 & \quad1.699\\ \quad0.001 & \quad1.6999\\ \quad0.0001 & \quad1.69999\\ \quad0.00001\quad & \quad1.699999\quad\\ \\ \hline \end{array}$

从结果，我们可以推测，极限值 $L=1.7$