视频版内容很多，文字版这里只给出洛必达两种形式的证明。

证:（1）证明。根据条件以及，可得：

上面是代数证明，下面根据是线性近似这个几何意义，通过图形来重新解释下上述定理。假设下面就是满足条件的两个函数和，因为有，所以两者交于点：

因为及都存在，所以这两个函数在点有切线：

上一单元我们学习过，切线（也就是）在附近可以近似曲线，即在附近有：

所以，在附近有：

很显然，越接近时，越接近，从而在极限的情况下可以取到等号：

证:用柯西中值定理来进行证明，要用柯西中值定理，需要连续函数，因此将与增加一个点，构造两个辅助函数：

根据前两个条件：

（1）

（2）时，及都存在，且

可以得到结论：

• 在闭区间上
• 在开区间上
• 时有

满足，则使得：

其中是区间中的一点

根据的构造，上式可改写为：

对上式两端求极限（因为），注意同时会有

所以可得：

条件“（3）存在”说的是时的极限存在，这意味着不论以任何方式趋于该极限都存在且都等于，这也包括这种特殊情况，所以此时有：

同理，因此。

计算也比较简单，直接通分就可以得到：

用洛必达法则来求解

从如下图像中也可以看出在内剧烈震荡，其时的极限不存在。

为什么不正确呢？因为虽然和满足“洛必达法则的加强形式”的条件（1）和（2），但是不满足条件（3）,下面尝试解释一下洛必达求解会得到其极限不存在的结果的原因

在上述证明中我们得到了，使得，套用到本题中就是：

等式成立是因为只是的一种特殊情况。

举例说明一下，比如是通过某数列实现的，也就是沿着下图中轴上的红点趋于；其函数值组成的数列也趋于，在下图中用绿点表示。

但由于只是一种特殊情况，因此