同学们大家好，今天我们来学习如何求旋转曲面的表面积。

作出一条曲线：

将这条曲线绕坐标轴旋转一圈，得到的就是旋转曲面，我们要求的就是它的表面积(这里需要说明的是，旋转面的底面和顶面都是空的，因此我们要求的表面积，就只有侧面的这一部分)

曲线绕坐标的面积怎么求我们不知道，但是我们知道直线绕坐标轴旋转一圈，得到的圆台的表面积(不含上下底面)：

它的表面积公式为：

如果我们将曲线用许多切线段近似，那么旋转体就可以看成许多个圆台的和

下面我们来计算单个圆台的表面积：

• 下图左侧是某子区间上、切点为点的小切线段。，如果令，其长度为：

• 下图右侧是该小切线段绕轴旋转一周得到的小圆台面
• 该圆台面的上底半径为切线段左端点到轴的距离，因为切线和曲线的最佳线性近似关系，所以可认为有
• 该圆台面的下底半径为切线段右端点到轴的距离，同样的道理，可认为有

所以该小圆台面的面积为：

因为在区间上是的，因此在区间上是的，所以在足够小时，有，所以上式可改写为：

所以在区间上个小圆台的面积和为如下：

令，因为在区间上是的，根据，所以时上述的极限存在，也就是。所以定义由该函数绕轴旋转一周而成的旋转面的表面积为：

例：将圆心在，半径为的圆，绕轴旋转一周，求此旋转体的表面积

分析：本题是绕轴旋转，那么自变量变成，所用表面积公式就应该为:

我们做一条的直线，将圆分为左半圆和右半圆来计算。

解：设右半圆曲线的方程为

左半圆曲线的方程为

取值范围为，我们首先来计算右半圆

(1)因为,所以，右半圆绕一圈的表面积为：

右半圆方程为：

求导得到：

代入得到：

化简得到：

因此右半圆绕一圈的表面积为：

(2)同样的方法计算左半圆，可以得到：

(3)因此整个圆绕一圈的表面积为：