同学们大家好，今天我们来学习，如何判断矩阵方程是否有解。
简单的说，若在内，则方程有解,不在内，则方程无解
那什么叫在内呢?
1.1 解释
我们将左边这个平面，代表映射前的向量可能出现的区域,右边这个平面代表映射后可能的出现的区域。经过的作用后,实际映射为了一条直线。
此时，所谓的若在上，则方程有解，指的就是，若在这条蓝色直线上,那么矩阵方程就有解。而若不在上，方程无解，指的就是，若不在这条蓝色直线上,那么矩阵方程就有解
那如何判断是否在上呢，下面我们来看个例子
1.2 例题
请判断矩阵方程
是否有解
(1)首先画出映射图可以看到，这里映射前的向量是一个二维向量,因此，映射前的向量空间是,映射后的向量也是一个二维向量,因此，映射后的向量空间也是。也就是说，矩阵完成的是到的映射
(2)如何判断是否在上呢?我们将题目所给式子展开。根据矩阵乘法的运算法则
显然等式右边表示的是由和张成的直线。
也就是说，左边这个平面,经过矩阵的映射后，被压缩成了一条直线。
而这个点，显然没有在这条直线上,因此这个方程没有解。
上面的例子向我们解释了，如何通过是否属于，来判断出方程是否有解。解释是解释了，不过，这里还有一个问题，不画图，该如何判断是否属于呢?用秩。
2.1 用秩判断方程是否有解
具体地
也就是说
2.2 解释
根据矩阵乘法,的计算结果，为其列向量的线性组合
又由于的取值范围是整个实数,因此这个列向量的线性组合，其实就是列向量张成的向量空间。
这样其实就是列空间,而判断是否有解,其实就是判断是否在列空间中。
我们知道表示的是列空间的维度,表示的是列向量与一起张成空间的维度。当在列空间中时，这两个维度显然是相等的，此时有解。而当不在列空间中时,列向量张成空间的维度就应该小于,列向量与一起张成空间的维度，此时方程无解。
这样我们用秩就判断除了方程是否有解。
2.3 例题
最后我们用这个方法来解一下刚刚那道例题。
请判断矩阵方程
是否有解
为了表示方便，首先将矩阵用表示,方程等号右边的向量用表示。
这样，表示的就是这样一个增广矩阵。
此时，可以很容易地可以看出
因此
反应在图像上,矩阵的两个列向量张成的就是一条直线，维度为1。在加入向量后,张成的空间就是整个平面,维度为2。
