同学们大家好，今天我们来学习数列的极限

简单的说，若数列无限地趋向于某一实数，则该确定的实数称为此数列的极限。

比如这里，数列的极限就为

如何将这个想法严格化呢，下面我们来看个例子

设

根据这个通项，我们可以很容易计算出数列的每一项

下面以为横坐标，为纵坐标建立坐标系,并将数组里的项表示在坐标系中

从图像上我们可以看到，随着n增大数列在不断的靠近横着的那条坐标轴,可以猜测，数列的极限为0

究竟是不是呢？我们来听听这两个同学的讨论

A:从图像上看，随着增大，在不断靠近,可以预见，最终会无限的接近,由此可以断定，数列的极限为

B:无限接近？接近到0.6可以吗

A:当然可以，我们以0为中心，2倍0.6为高，做出一个绿色的矩形区域,显然，落在这个绿色区域内的点与0的距离都是小于0.6的。这里可以看到，除了第一个点，其他点都落在区域内，这说明，从第二个点开始，所有的点与0的距离都小于0.6

B:嗯，看来0.6是可以的，那0.3可以吗

A:当然也是可以的,我们只需要将高度缩小为2倍0.3，这样绿色区域内的点与零的距离就都是小于0.3的了。可以看到，此时虽然第二个点和第三个点落到了区域外，但从第四个点开始，其他的点仍然在区域内，说明，从第四个点开始，所有点与零的距离都是小于0.3的。

B:嗯，看来0.3也是可以的，那0.2，0.1都可以吗

A:可以的，无论你给出多小的距离，我都可以告诉你从哪一项开始能满足要求，也就是说数列与零的距离可以是任意小，其极限为0。

在刚刚这段对话中，B这位同学在不断的质疑，而A这位同学在不断的求证。通过这不断的质疑与求证，我们最终确定了这个数列的极限为0。即:

确定是能确定，但要精准表达还不容易，下面我们来看看数学家给出的定义

该定义诘屈聱牙，确实是微积分学习中的第一只拦路虎，下面让我们来仔细分析。这个定义其实就说了两个意思：

• 猜测：根据的特点，猜测极限为某实数
• 验证：然后想办法去验证上述猜测的正确性

既然是定义数列的极限，当然首先要给出数列，将它们表示在坐标系中，就是这些蓝点

然后在定义里说“如果存在实数”。这里的如果代表猜测，说明有可能是图中的直线,也有可能是图中的直线

不过这里最有可能的,还是下面这幅图中的直线

因为随着增大，数列与这条直线的距离在不断的减小

然后假设这条线是，则就是我们猜测的数列极限。

既然是猜测，那么就需要验证，定义中的后面几句话就是在验证。首先看这一句

表示的是数列与间的距离,要小于，那就以为中心，2倍为高做出一矩形区域,显然落在这个区域的点都满足。

那么这里只要选择，就能满足，对所有的,有

定义里要求，不论多么小，都能找到这样的。而这一点，也是符合的。比如这里，将缩小后，我们可以将取为。

满足了这些条件，我们就验证出来是数列的极限。将它记为

这就是数学家们数列极限的定义。