在上一个视频中，我们根据内接多边形不断靠近圆的思想，推出了无穷边形的面积为，继而得到了圆的面积为

但是，这里存在一个逻辑漏洞,内接正五边形不是圆、内接正六边形不是圆,内接正七、正八边形都不是圆。既然之前的多边形都不是圆，那么最终得到的无穷多边形的面积真的是圆的面积吗？本视频就来回答这个问题

先说思路，首先回忆一下圆的定义。根据欧几里得的《几何原本》定义，圆是到定点的距离等于定长的点的集合

如果，内接多边形增加到无穷多边时,多边形上的每个点到圆心的距离都相等,那么就能说明该无穷多边形就是圆。

那无穷多边形是这样的吗？

无穷多边形咱不太清楚，但是对于五边形而言，边上的点到圆心的距离并不相等。其中，距离圆心最远的点，是顶点。距离最近的点是，过原点向底边所做垂线得到的垂足。

如果最长距离与最短距离相等，那么多边形上每个点到圆心的距离就都相等了。而随着边数的增加，我们可以看到，这两者的距离确实是在靠近

最终会不会相等呢？下面我们来证明一下

还是画出内接正五边形，连接圆心和顶点得到最长的距离，假设其长度为,过圆心向其中一条边作垂线得到最短的距离。容易知道由二者产生的夹角为(这里为五边形，就等于5)。根据三角函数的知识，很容易得到最短的距离

因为当趋于无穷时，的极限为1,所以最短距离的极限就为。

这就意味着最长的距离、最短的距离在边数为无穷时会相等。所以内接无穷边多边形就是圆。那么根据内接无穷边多边形的面积为,就可以推出圆的面积为