泰勒公式分为两部分：

上个视频中，我们介绍了泰勒公式中的多项式部分如何利用奇偶函数的性质，逼近曲线的：

但系数是多少，余项又是什么都没有交代：

本期视频就来回答这两个问题。

让我们将泰勒公式展开：

泰勒公式的多项式系数是本文要求的，所以将它们用来代替：

这样，我们要求的就是，以及：

很显然现在是求不出来的，我们必须根据多项式不断逼近光滑函数的思想对余项做出假设：

再根据假设来推导出各个系数的值：

下面来讲述细节。

为了叙述方便，我们用来表示余项：

下面来观察随着泰勒公式的展开，余项会发生什么变化。

泰勒公式的零次展开为

其中，多项式部分()为过展开点的一条横着的直线：

零次展开的多项式与光滑函数的差值为余项：

泰勒公式的一次展开为

此时，多项式函数()为一条斜着的直线：

相应的，一次展开的多项式与光滑函数的差值为余项：

可以看到差值在缩小，也就是

同样的道理，泰勒公式二次展开时，多项式为二次函数：

该多项式函数为过展开点的二次曲线：

此时，二次展开的多项式函数与光滑函数的差值为余项：

差值继续缩小，也就是

泰勒公式次展开时，多项式为次函数：

对应的图像为过展开点的次曲线：

此时，多项式函数与光滑曲线的差值为余项：

用表示从零次展开到次展开的余项。

可以看到，随着多项式的展开，余项在不断减小。

找到余项这个规律，下面我们尝试用数学符号把余项表示出来。

将附近范围的半径用表示：

零次展开时的余项是：

此时可以看到，在不断缩小时，都在不断靠近零：

由此可以假设是关于的无穷小，用表示：

则此时泰勒公式展开为：

一次展开后，多项式为一条斜着的直线，余项也随之缩小：

要达到上图的目的，需要在零次展开的基础上增加多项式以及减小余项。具体来说就是将展开为，其中：

上面的等式右侧验证一下就知道的确是的同阶无穷小：

所以一次展开后的泰勒公式为：

上面的展开结果可以用图表示为：

二次展开后，多项式为二次曲线，余项也随之缩小：

要达到上图的目的，需要在一次展开的基础上增加多项式以及减小余项。具体来说就是将展开为，其中：

上面的等式右侧验证一下就知道的确是的高阶无穷小：

所以二次展开后的泰勒公式为：

上面的展开结果可以用图表示为：

不断重复上面的思路，不断拆分余项，拆分次后可以假设余项为,这样泰勒展开式为

前面我们根据多项式不断靠近光滑函数，假设出了各个余项

下面我们就要根据这个假设来推导多项式的系数了

求解系数之前，我们首先用把进行替换

下面根据式一的第(1)行计算

将带入式一种的第(2)行，可以得到:

将带入式一的第(3)行可得(运算中用到洛必达):

照此推广下去，可得:

则次展开的展开式为:

整理后，就得到了泰勒公式的完整表达