以直代曲是微积分的基本思想

用来代替曲线的直线就是切线，这就是本课要讨论的问题

对于一条曲线

我们感兴趣的，可能有它的长度

它的面积，等等

但很显然，因为是曲线，所以这些并不好求解。

我们需要想办法把它用直线表示。

假设有曲线和直线，如果两者完全相等，那么有：

不过这显然很难办到。

但可以做到在某一点相等

下面，我们稍微进一步。以为中心，取一小段

在这一段上,与相差很小

并且，随着的减小，直线不断逼近曲线

将此推广到整条曲线。首先将，曲线分成若干份

每份都用一条线段代替

并且随着划分的越来越细，这些直线越来越接近之前的曲线

这种，用直线代替曲线的方法，称为以直代曲。

下面，将前面的分析，落到代数上

前面说过，在一小段区间上，直线与曲线相差较小

加上高阶无穷小,就可以把约等于变成等于

其次，曲线与直线在点处相等。

如果，此时再知道直线的斜率

那么就能得到直线的表达式

下面，我们就来求解斜率

经过上面的分析我们有了：

将用代替

等式两边同除

两侧取极限：

根据高阶无穷小的定义，可知等式右边为零

略微作一下化简可得：

这个式子中的每个元素都是已知的。

这样如果极限存在，则斜率存在，斜率存在就能求出直线

这就是以直代曲中的直，也就是切线。