之前写过不少关于微分和导数的文章：

• 微分是什么？
• dx，dy是什么？
• 微分和导数的关系是什么？

今天这篇文章再换一个角度来谈论微分和导数，让我们从微分出现的原因说起。

出于种种原因，我们可能想去求曲线的长度、曲面梯形的面积：

求解思路是这样的，以求曲线长度为例，将曲线分为多个部分，每一部分都用切线来近似曲线：

划分的越细，直到划分为无穷多份，最终这些切线的长度加起来就是曲线的长度：

求曲边梯形面积也是类似的，用小矩形来近似曲边梯形的面积，随着小矩形的增多最终得到曲边梯形的面积：

上面的思想就是微积分的核心思想，“以直代曲”。曲线长度、曲边梯形就是“曲”，切线、小矩形就是用来近似（代替）的“直”，这种“直”就是微分。关于这里还不了解的可以看“微分是什么？”这篇文章。

先不谈曲边梯形，本节先来回答曲线的微分是什么，也就是可以近似曲线的直线是什么？

下面结合几何来理清一下求解的思路。假设有曲线和直线，如果两者完全相等，那么有：

很显然这在整个曲线和直线上是做不到的，但肯定可以做到在某点上相等，比如让它们在点相等，从几何上看就是曲线和直线在点相交：

下面要更进一步，不过不要太贪心，只希望两者在附近尽量相等。比如像下图一样，在的区间内，曲线和直线相差很小：

这点如果可以做到，那就可以按照上一节说的，将曲线分成n份，每份都用各自的微分来近似。

通过几何分析，思路已经理清楚了，要找的微分（直线）需要满足以下两点：

        （1）曲线和直线要交于点。假设直线的斜率为，那么根据点斜式，可得直线函数：

这里面就是还未知，求出了就得到了想要的直线，也就得到了微分。

        （2）曲线和直线要在的区间内尽可能相等。用代数表示即为：

有约等号的式子是没法计算的，引入高阶无穷小可以将约等号去掉：

高阶无穷小的意思就是在这个范围内无限的接近于 0。至于为什么它无限接近于 0，以及为什么是高阶无穷小，在文章的最后会进行补充说明。

经过上面的分析我们有了：

这已经足够让我们解出直线的斜率了。注意到，可以进行如下变形：

两侧取极限可得：

略微作一下化简可得：

至此我们就求出了，也就找到了的微分（直线的形式还需要变一下才是真正的微分，关于这点可以参考“dx，dy是什么？”这篇文章）。

这个在微积分中又有一个专门的名字，称为的导数。如果存在（因为是通过极限求得的，这个极限有不存在的可能），那么就称可导。

上面的思路还可以进一步思考，如果要找最接近曲线的多项式曲线呢？这会得到泰勒公式，就留给大家作课后习题吧。

这里补充说明两点：

        （1）高阶无穷小为什么表示在的区间内无限接近于 0 ？这是因为它满足：

上面这个极限式意味着越小，也就是越接近于点，越接近于 0。用动画表示就是：

上图中绿线就是曲线，蓝线为微分，可以看到随着缩小，两者之间的距离也无限接近于 0。

        （2）为什么一定要高阶无穷小？同阶无穷小行不行？关于这点可以参考“为什么算出来的圆周率 π 等于 4 ？”这篇文章。