马同学

如何证明 e 和 π 是无理数？

让我们从“无理数”的词源开始：

有理数在希腊文中称为 λογος，原意是「成比例的数」，也就是可以改写为两个整数之比的数。英文取其意，以 ratio 为字根，在字尾加上 -nal 构成形容词，全名为 rational number ，直译成汉语即是「可比數」。对应地，无理数则为「不可比数」，其全名为 irrational number 。
----维基百科

当然 irrational 在英文中主要还是“非理性”的意思，所以中文将 irrational number 翻译为“无理数”。“无理数”这个翻译还是有一点道理的，毕竟要理解、证明某个数是「不可比数」还是挺困难，本文就来看几个著名无理数的证明过程。

1 第一个无理数

古希腊的毕达哥拉斯认为世间的数或者是整数，或者是整数之比（即有理数）。直到他的门徒希帕索斯发现边长为 1 的正方形的对角线长度不是有理数：

希帕索斯是用反证法来证明不是有理数的。假设是有理数，那么必然可以写作两个互质的正整数（即两者的公因数只有 1 ）、之比：

将两边平方后可推导出：

所以可以设（为某整数），继续上面的推导：

、都是偶数，与两者互质的假设矛盾，所以不是有理数，只能是无理数（实数不是有理数就是无理数）。这也是世界上的第一个无理数。

2 自然常数是无理数

下面来证明，各个学科的常客，自然常数也是无理数。先从证明的思路开始。

2.1 思路

还是用反证法，假设是有理数，可以写作两个正整数之比：

上式两侧同时乘上（为某个足够大的正整数）可得（1）式：

很显然（1）式右侧必然为整数，如果左侧不为整数的话那么就说明（1）式不成立，从而说明我们的假设是错的，从而说明不是有理数。这就是整体的思路。

2.2 证明

下面就来证明（1）式的左侧不是整数。在微积分中，的定义式为：

根据（2）式可得：

那么“是否为整数”就变为了“上述等式的最后一项是否为整数”。令最后一项等于，对其进行不等式缩放可知：

所以当足够大时（是可以自由挑选的），必然有，此时必然不为整数，因此：

3 圆周率是无理数

上面两个无理数的证明只是前点，下面才是主菜：证明下圆周率是无理数。这个过程并不容易，毕竟：

想轻松证明圆周率是无理数，本身就很无理。
----鲁迅没有说过

圆周率在 2000 多年前就已经出现了，但真正被证明为无理数却只有 200 多年的历史，这从侧面说明了证明的不易。第一个证明是在 1761 年由瑞士数学家约翰·海因里希·朗伯（Johann Heinrich Lambert）通过连分数给出的。本文要讲述的证明是美国数学家伊万·尼云 (Ivan M. Niven）在 1947 年给出的：

个人觉得该证明是相对易懂的。

3.1 思路

还是用反证法，证明思路大致如下：

        （1）假设圆周率是有理数：

        （2）根据、构造函数：

其中为正整数。有的同学喜欢追问为什么要这么构造，我觉得这是大师经过无数次反复思考之后的神来之笔，就好像绘画、音乐中的灵光一现，很难去解释思路上的来龙去脉。

        （3）根据上述的假设和构造，可推出两个结论：

很显然“结论 1”和“结论 2”是矛盾的，因此我们的假设错了，因此不是有理数只能为无理数。

3.2 的性质

容易证明，上面构造的有如下性质：

        （1），这点很容易证明，代入即可：

        （2）可以改写为级数的形式：

其实就是将根据二项定理展开，就可以写成级数的形式。

        （3）根据上面两个性质容易证明：

至此做好准备了，可以分别去证明“结论 1”和“结论 2”。

3.3 “结论 1”的证明

再构造函数：

很容易求出：

所以：

因为在和时为整数，所以和为整数，所以证明出了“结论 1”：

3.4 “结论 2”的证明

当时，有：

所以：

同时进行积分：

进而推出：

其中是一个无穷小，所以在足够大时，其必然趋近于 0，从而“结论 2”成立：

“结论 1”和“结论 2”都成立，导出矛盾，因此不是有理数只能为无理数。

4 最后

那么或是无理数吗？据我所知，目前只知道这两者必然有一个为无理数，但是哪一个还并不清楚。就留给大家做课后练习吧。

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