数系从整数扩张到实数，其实并不是一件简单的事情。

光增加实数本身意义不大，对应的计算规则也需要跟着扩张。否则就好像兑换了比特币，但发现没有消费场景，这就尴尬了。

比如，我们知道：

$$x^2=x*x$$

通过极限理论，可以把乘方扩展到实数范围，比如：

$$x^\pi\quad x^e$$

那么，下面这两个针对正整数的运算是否可以扩展到实数范围：

阶乘是定义在正整数上的，比如：

$$ \begin{aligned} &1!=1\\ &2!=2\times 1 = 2\\ &3!=3\times 2\times 1 = 6\\ &\cdots \end{aligned} $$

那么：

$$0!=?$$

定义0的阶乘等于多少，数学家最主要考虑的是自洽。

自洽的意思是说，数学是环环相扣的，增加一个新的定义，必须让之前的公理、公式都成立。否则得不偿失。

我们来考虑$e^x$的泰勒展开：

$$ e^x=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{x^n}{n!} $$

那么令$x=0$有：

$$ \begin{aligned} e^0 &=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{0^n}{n!}\\ &=\frac{0^0}{0!}+\frac{0^1}{1!}+\frac{0^2}{2!}+\cdots\\ &=1 \end{aligned} $$

已知$0^0=1$（关于这个的定义又是另外的故事了，这里不讨论），于是，必须定义：

$$0^0=0!=1$$

才能让上面这个等式成立，才能自洽。

现在我们知道了：

$$ \begin{aligned} &0!=1\\ &1!=1\\ &2!=2\times 1 = 2\\ &3!=3\times 2\times 1 = 6\\ &\cdots \end{aligned} $$

放在坐标轴上也就是这些点：

要把阶乘扩展到实数，最自然的想法就是找到一条穿过这些点的线，比如：

这种折线我们一般不考虑，性质太差，好多地方不可导，这样插值在数学里面意义不大。

牛顿插值法（可以参考此文）：

看着还行，但是插值点多了之后（下面增加了$4!,5!,6!$三个插值点），图像就很曲折：

伯努利、欧拉、哥德巴赫尝试过各种插值法（详见神奇的伽马函数）。

我这里介绍一种插值方法，考虑这个积分：

$$ \int_0^{\infty}e^{ax}dx=-\frac{1}{a},a < 0 $$

两边对$a$求$n$次导：

$$ \begin{aligned} \frac{d^n}{da^n}\int_0^{\infty}e^{ax}dx &=\int_0^{\infty}\frac{d^n}{da^n}e^{ax}dx\\ &=\int_0^{\infty}x^ne^{ax}dx\\ &=\frac{(-1)^{n+1}n!}{a^{n+1}} \end{aligned} $$

即得到：

$$ \int_0^{\infty}x^ne^{ax}dx=\frac{(-1)^{n+1}n!}{a^{n+1}} $$

令$a=-1$，得到：

$$ \int_0^{\infty}x^ne^{-x}dx=n! $$

这个就是我们要的插值函数，稍微换一下符号，写作（高斯就是这么标记的）：

$$ \prod(x)=\int_0^{\infty}t^xe^{-t}dx $$

此时有：

$$ \begin{aligned} &\prod(0)=0!=1\\ &\prod(1)=1!=1\\ &\prod(2)=2!=2\times 1 = 2\\ &\prod(3)=3!=3\times 2\times 1 = 6\\ &\cdots \end{aligned} $$

欧拉和勒让德把这个稍微改动了一下，就是现在用的Gamma函数：

$$ \Gamma(x)=\int_0^{\infty}t^{x-1}e^{-t}dx $$

此时有：

$$ \begin{aligned} &\Gamma(1)=0!=1\\ &\Gamma(2)=1!=1\\ &\Gamma(3)=2!=2\times 1 = 2\\ &\Gamma(4)=3!=3\times 2\times 1 = 6\\ &\cdots \end{aligned} $$

图像如下：

可能大家非常不习惯，为啥：

$$\Gamma(x)=(x-1)!$$

大家猜测这样定义的话，欧拉后来定义的beta函数会比较对称：

$$ {\displaystyle B (x,y)={\frac {\Gamma (x)\,\Gamma (y)}{\Gamma (x+y)}}.} $$

否则按照高斯的标记法，beta函数得长这个样子：

$$ {\displaystyle B (x,y)={\frac {\prod (x)\,\prod (y)}{\prod (x+y+1)}}.} $$

可能到时候同学们又会抱怨beta函数难以记住了。

哎，总之阴差阳错，gamma函数就是长这个样子了。就好像圆的周长是：

$$2\pi R$$

为什么会多个$2$啊？这也是欧拉给我们留下的数学遗产。

其实，能够完成插值的函数不止一个，有非常多，比如：

再比如：

要我说，上面这两个插值函数还好一些，不像Gamma函数在$x\le 0$的时候，还有非常多的点取不到值，也不单调。

数学家也无法彼此说服，直到Bohr-Mullerup定理出现，平息了大部分的争论。

Bohr-Mullerup定理说的是，Gamma函数是唯一在定义域$(0,\infty)$中，满足以下三个条件的函数：

前面两个条件不说了，以上的插值函数都满足，数学家最看中的是最后一个条件。

怎么说呢？最后这个条件说明这个函数性质良好，在可选的插值函数中选择一个这样的函数，数学家很满意。

当然，其他的插值函数在某些条件下也是有用的，具体可以参看这篇文章。

要是对$x^n$求导，令：

$$f(x)=x^n$$

有：

$$f^{(k)}(x)=\frac{n!}{(n-k)!}x^{n-k}$$

那么用Gamma函数来重新定义结果：

$$f^{(k)}(x)=\frac{\Gamma(n+1)}{\Gamma(n-k+1)}x^{n-k}$$

这样，导数又可以扩展到分数阶，比如：

$$f^{(\frac{1}{2})}(x)=\frac{\Gamma(\frac{1}{2}+1)}{\Gamma(n-\frac{1}{2}+1)}x^{n-\frac{1}{2}}$$

确实，这是分数微积分的起点。

从整数到实数，数系的扩张很不简单，需要数学家们付出巨大的努力。通过Gamma函数可见一斑。

关于数系的扩张，也曾经写过几篇相关的文章：

本文参考：