概率论发展的转折点：贝特朗悖论

马同学

概率论发展的转折点：贝特朗悖论

和所有的数学分支类似，概率论的也是经历了从直觉到严格的过程。其中的一个转折点就是贝特朗悖论。

1 古典派

古典派也就是高中时候学的概率论。它的核心哲学思想是：不充分理由原则。

1.1 不充分理由原则

雅各布·伯努利（1654－1705）：

$马同学高等数学$

提出，如果因为无知，使得我们没有办法判断哪一个结果会比另外一个结果更容易出现，那么应该给予它们相同的概率。比如：

硬币：由于不清楚硬币哪一面更容易出现，那么应该给予正面、反面相同的概率，即为 $\frac{1}{2}$
骰子：我们不清楚骰子哪一面更容易出现，那么应该给予每一面相同的概率，即为 $\frac{1}{6}$

此称为 $\color{Salmon}{不充分理由原则}$ （Insufficient Reason Principle）。

1.2 古典概率

以不充分理由原则为基础，经由皮埃尔-西蒙·拉普拉斯侯爵（1749－1827）：

之手，确立了 $\color{Salmon}{古典概率}$ 的定义，即：

$未知的概率都为等概率$

整个19世纪的人们都广泛接受这个定义，并发展出了一系列的定义和定理。

2 贝特朗悖论

法国数学家贝特朗（也翻译为“伯特兰”）于1888年在他的著作《Calcul des probabilités》中提到了这个悖论：

原始的悖论比较复杂，下面我们给出一个等价的形式。

2.1 锯木厂的木头

问：有一家锯木厂，它会把木头切成不同的木方，木方的截面都是正方形，边长会在 $1\sim 3$ 尺之间随机浮动：

那么根据古典概率，该锯木厂生产出来的正方形边长在 $1\sim 2$ 尺之间的概率为多少？

解：根据不充分理由原则，因为不知道哪一种边长更容易出现，那么就应该给予它们相同的概率，也就是说 $1\sim 3$ 之间每一种长度都是等可能的。而 $1\sim 2$ 包含了一半的可能长度：

所以，正方形边长在 $1\sim 2$ 尺之间的概率为：

$\frac{2-1}{3-1}=\frac{1}{2}$ 。

2.2 悖论的产生

刚才的问题还可以转为面积来解答， $1\sim 3$ 尺边长的正方形面积为 $1\sim 9$ 平方尺， $1\sim 2$ 尺边长的正方形面积为 $1\sim 4$ 平方尺：

同样，根据不充分理由原则， $1\sim 9$ 平方尺之间的正方面面积是等可能的，那么正方形面积在 $1\sim 4$ 平方尺之间的概率为 $\frac{3}{8}$ ：

选择对“长度”还是对“面积”运用不充分理由原则，同一个问题会得到了不同的概率：

那么哪个是对的？

3 现代概率论

3.1 反思

19世纪不少人相信只要找到适当的等概率，就可以得到问题的唯一解。直到贝特朗悖论出现，人们才开始反思古典概率中的不合理之处：“等概率”的描述实在是太模糊了，存在歧义。

在后来数学家的不断努力中，概率论变得越来越严谨，大学中学习的公理化的现代概率论就是集大成者。

下面用现代的概率论重新来审视贝特朗悖论，你会发现其实根本没有矛盾之处。

3.2 重解贝特朗悖论

问：有一家锯木厂，它会把木头切成不同的木方，木方的截面都是正方形，边长会在 $a\sim b$ 尺之间随机浮动：

也就是说木方的边长是一个随机变量 $X$ ，符合均匀分布（均匀分布就是等概率的意思）：

$X\sim U(a,b),\quad (0 < a < b)$

那么：

$\quad$ （1）该锯木厂生产出来的正方形边长在 $c\sim d$ 尺之间的概率为多少（其中 $a < c < d < b$ ）？

$\quad$ （2）它的面积 $Y=X^2$ 又符合什么分布呢？

解：（1）记 $X$ 的累积分布函数为 $F_X(x)$ ，其概率密度函数为 $p_X(x)$ ，因为 $X\sim U(a,b)$ ，所以：

$p_X(x)= \begin{cases} \frac{1}{b-a}, &a < x < b\\ 0, & 其它 \end{cases}$

那么要求的正方形边长在 $c\sim d$ 尺之间的概率为：

$P(c\le X\le d)=\int_c^d p_X(x)\mathrm{d}x=\frac{d-c}{b-a}$

$\quad$ （2）假设 $Y$ 的累积分布函数为 $F_Y(y)$ ，其概率密度函数为 $p_Y(y)$ 。先来求 $F_Y(y)$ ：

$\begin{aligned} F_Y(y) &=P(Y\le y)=P(X^2\le y) \\ \\ &=P(X\le \sqrt{y})=F_X(\sqrt{y}) \end{aligned}$

将 $F_Y(y)$ 对 $y$ 求导就得到了概率密度函数，也就是得到了 $Y$ 的分布：

$\begin{aligned} p_Y(y) &=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y}F_Y(y)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y}F_X(\sqrt{y})\\ \\ &=\frac{\mathrm{d} F_X(\sqrt{y})}{\mathrm{d}\left(\sqrt{y}\right)}\frac{\mathrm{d}\sqrt{y}}{\mathrm{d}y}&&链式法则\\ \\ &=\frac{1}{2\sqrt{y}}p_X(\sqrt{y})\\ \\ &= \begin{cases} \frac{1}{2\sqrt{y}}\cdot\frac{1}{b-a}, &a < \sqrt{y} < b\\ 0, & 其它 \end{cases}\\ \\ &= \begin{cases} \frac{1}{2\sqrt{y}(b-a)}, &a^2 < y < b^2\\ 0, & 其它 \end{cases}\\ \end{aligned}$

（1）（2）两个问题回答下来，可见边长符合均匀分布时，面积并不符合均匀分布。

4 总结

贝特朗悖论产生的原因在于，古典概率中的“等概率”非常模糊：