在上一章中，我们介绍了，其核心在于将的概率定义为实值函数的值，如图 1 所示。更一般地，函数将上的每个映射为区间上的一个实数，如图 2 所示。

也就是说，函数是以为自变量的，而我们更习惯以实数为自变量。因此本章引入了随机变量和分别列的概念，这样就可以将转为实数，从而完成概率的计算。

定义 1. 在上的实值函数称为 随机变量 （Random Variable），通常用大写字母、、等表示，其具体取值用小写字母、、等表示。

根据随机变量取值范围（即随机变量的）的不同，可将其分为两大类：

• 离散随机变量 （Discrete Random Variable）：其取值是有限个或可列个值这里的可列个是指虽然是无穷多个，但可以像自然数一样依次排列，比如 1, 3, 5, 7, ... 这样的序列
• 连续随机变量 （Continuous Random Variable）：其取值充满区间，其中可以是，可以是

定义 1 说明，随机变量是一个将映射到实数的函数，如图 3 所示。注意比较和图 2 的区别。

下表展示了两个具体的例子，通过随机变量、，分别将“抛掷一枚硬币”和“抛掷两枚硬币”的进行了实数映射。由于这两个随机变量的取值都是有限个，因此它们都属于离散随机变量。

还可以定义随机变量，它以不同的方式来映射"抛掷两枚硬币"的样本空间，如下表所示，其中和映射到相同的值1。这个随机变量描述的是“抛掷两枚硬币得到的正面数”这个随机现象：

再来看两个连续随机变量的例子：

• 假设是所有一年级学生的集合，如图 4 所示。定义在上的实值函数：

  则随机变量描述的是“一年级某学生的体重”这个随机现象。由于随机抽取一名一年级学生，其体重可能是15公斤，也可能是50公斤，或是这个区间内的任意值，因此的取值范围为（单位：公斤），这说明是一个连续随机变量

• 假设是所有电视机的集合。定义在上的实值函数：

  则随机变量描述的是“某台电视机的寿命”这个随机现象。由于某台电视机可能刚下生产线就发生故障（寿命为0），也可能一直正常工作（无法确定何时会发生故障，视寿命为），或者是这个区间内的任意值，如图 5 所示。因此的取值范围为（单位：年），这说明也是一个连续随机变量

根据上面的描述，我们可以用随机变量、、、和来表示相关的事件：

• 表示“抛掷一次硬币得到反面”
• 、表示“抛掷两次硬币得到都是正面”
• 表示“某学生的体重在20到30公斤之间（不含20和30）”
• 表示“某台电视机的寿命大于等于1000小时”