五次及以上多项式方程没有根式解（就是没有像二次方程那样的万能公式），这个是被伽罗瓦用群论做出的最著名的结论。

但是，没有王屠夫难道非得吃带毛猪？工作生活中还是有诸多求解高次方程的真实需求（比如行星的轨道计算，往往就是涉及到很复杂的高次方程），这日子可怎么过下去啊？

没有根式解不意味着方程解不出来，数学家也提供了很多方法，牛顿迭代法就是其中一种。

要讲牛顿迭代法之前我们先说一个关键问题：切线是曲线的线性逼近。

这个是什么意思呢？我们来看一看，下面是的图像：

我们随便选一点上的一点做它的切线：

我们在A点处放大图像：

上图中，红色的线是，黑色的是A点处的切线，可以看出放大之后切线和非常接近了。很明显，如果我们进一步放大图像，A点切线就越接近。

可以自己动手试试：

Created with GeoGebra

因为切线是一条直线（也就是线性的），所以我们可以说，A点的切线是的线性逼近。离A点距离越近，这种逼近的效果也就越好，也就是说，切线与曲线之间的误差越小。所以我们可以说在A点附近，“切线”。

牛顿迭代法又称为牛顿-拉弗森方法，实际上是由牛顿、拉弗森（又是一个被牛顿大名掩盖的家伙）各自独立提出来的。

牛顿-拉弗森方法提出来的思路就是利用切线是曲线的线性逼近这个思想。

牛顿、拉弗森们想啊，切线多简单啊，研究起来多容易啊，既然切线可以近似于曲线，我直接研究切线的根不就成了。

然后他们观察到这么一个事实：

随便找一个曲线上的A点（为什么随便找，根据切线是切点附近的曲线的近似，应该在根点附近找，但是很显然我们现在还不知道根点在哪里），做一个切线，切线的根（就是和x轴的交点）与曲线的根，还有一定的距离。牛顿、拉弗森们想，没关系，我们从这个切线的根出发，做一根垂线，和曲线相交于B点，继续重复刚才的工作：

之前说过，B点比之前A点更接近曲线的根点，牛顿、拉弗森们很兴奋，继续重复刚才的工作：

第四次就已经很接近曲线的根了：

经过多次迭代后会越来越接近曲线的根（下图进行了50次迭代，哪怕经过无数次迭代也只会更接近曲线的根，用数学术语来说就是，迭代收敛了）：

已知曲线方程，我们在点做切线，求：

容易得出，点的切线方程为：。

要求，即相当于求的解，即：

。

牛顿-拉弗森方法源于直觉，这种直觉本身有一定程度的合理性。

我们来看看收敛的充分条件：

也就是说，在这个区域内，用切线代替曲线这个直觉是合理的。但是，因为我们不知道根点到底在哪里，所以起始点选择就不一定在这个区域内，那么这个直觉就不可靠了。

起始点不幸选择了驻点，从几何上看切线根本没有根。

从代数上看，没有意义。

下面是的曲线，不论怎么选择起始点，越迭代就越远离根点：

从代数上看，，就是说下一个点比上一个点更远离根点。

此处根点很显然是0点，而是不存在的。

还有一种更酸爽的不收敛，就是不断的循环震荡。

比如下面是的曲线：

很漂亮的图像吧。从代数上看就是造成的。

由于选择的起始点不对，造成这种循环的情况其实还挺多，在很多曲线的某些点都会出现这种情况。

此处根点也是0点，而是不存在的。但是不一定不存在就无法用牛顿-拉弗森方法求解，比如依然可以用牛顿-拉弗森方法：

这是因为之前说的收敛判断条件只是充分条件。

比如这种有多个根的函数，因为选择的起始点，只能求到附近的根：

也可能想求附近的根，由于选择的起始点不对，结果求到远处的根：

通过按钮可以切换函数，拖动“起始点”也会有惊喜：

Created with GeoGebra

应用牛顿-拉弗森方法，要注意以下问题：

比如求平方根：，可以转为求这个方程的根，就可以用牛顿-拉弗森方法求。求平方根用牛顿-拉弗森方法是安全的，没有我之前说的那么多坑。不过我看了有一些工程师写的代码，就有点滥用牛顿-拉弗森方法了，没有从数学角度进行更多的考虑。

数学的魅力就在于，哪怕18世纪就证明了五次及以上多项式方程没有根式解，随着时间的发展，这个证明并不会被推翻，不像技术一样会日新月异。所以牛顿-拉弗森方法仍然在计算机学科中被广泛使用。