马同学

如何能更好的理解（ε-δ）语言极限的定义？

ε-δ语言，是精确描述无限接近的语言。
关于极限，之前我写过一个回答，请问如何理解极限的精确定义？，这篇专门讲讲语言，也算是对上篇文章未尽之处的补充。
语言是描述函数极限的（数列极限用的是语言），这个定义可能是高中跨越到大学的第一记闷棍，偏偏函数极限定义又是所有高等数学的基础中的基础，要是不理解这个真的就输在起跑线上了。
其实对函数极限，越接近点，越接近某个常数，这个直觉还比较容易建立。只是描述接近的语言应该怎么建立直觉呢？
本文主要给出一个我自己思考得到的的几何模型来帮助建立这种直觉。
这个模型主要强调的不是严格性，而是着重于如何帮助理解。
1 的几何模型
1.1 的定义
极限定义的描述方式很多，我这里选一个比较简单易读的（相对而言）:

，皆为实数，可去的区间， 当时， 当且仅当︰，，使得若，则。

维基百科

看着头疼是吧，我们下面来拆解，映射到几何模型上去。
1.2 几何建模
先把定义划下重点：
下面一个个说，，皆为实数，可去的区间：
是什么：
之前划的重点是，首先什么是与：
是什么？表示去心邻域对应的所有函数值，即下面的绿色线段。我觉得你不如手动拖到下就知道我在说什么了（点也是可以拖动的，并且拖动条的哦）：
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知道绿色线段是去心的就可以了，之后的图为了简洁，就不再标注绿色线段的蓝色去心点了。
我们引入一个红色线段：
所以表示，红色线段包含绿色线段（本图的和上图的不是一个值了）：
然后，什么是：
最后，在几何模型里面，是极限值的条件就变成了：

所有的红色线段，是否能找到一个合适的，使得绿色线段始终全部包含在红色线段内。

费了这么多口舌终于建立好了模型了，下面就来见证下模型怎么运转的吧。
2 验证几何模型
2.1 普通连续函数
根据上面的定义，下面的函数就是存在极限的。
看图说话，这样的红色线段，可以找到合适的，使得绿色线段始终包含在红色线段内：
红色线段短点：
红色线段再短点：
都可以找到绿色线段包含在红色线段之内，所以。
但是，如果移动了，就是的值改变了，虽然这样可以找到绿色线段:
但是这样就不行了：
所以。
2.2 分段函数
下面这个就不可能是点的函数极限，如图所示红色线段就找不到合适的绿色线段：
如果点正好是分段函数的分段点，很显然也没有极限，因为红色线段只包含了绿色线段的一部分（注意）：
2.3 震荡函数
用这个模型可以轻易判断这样的震荡函数，在点是没有极限的，可以看到哪怕再小，绿色线段的长度始终为1：
下面是完整的互动操作，你可以切换函数、可以拖动，并且尝试思考这几个问题：
  • 都必须大于0吗？
  • 感受下和
  • 可以拖动说明什么？
  • 为什么震荡函数在震荡中心没有极限？
  • 分段函数的左极限右极限可以表示吗？
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