三角函数作为初等函数的六大函数之一，它的恒等变化很多，难点也在于变化太多，所以非常灵活。

而三角和公式是恒等变换的基础，我们必须要尽量记住，多掌握点推导方法、并且多刷题，可以更有效率的记忆。

这里就介绍两种求正弦，余弦的三角和方法：几何法和欧拉公式推导。

大家要记得尝试推导一下，并且本文提供了可以自己动手的互动操作，可以进一步加深印象。

1 三角和公式

正弦三角和公式为：

$sin(\alpha +\beta )=sin\alpha cos\beta +cos\alpha sin\beta $

余弦三角和公式为：

$cos(\alpha +\beta )=cos\alpha cos\beta -sin\alpha sin\beta $

2 几何证明

若要几何证明，就要给出几何意义。

正弦$sin$是直角三角形的对边比斜边。

余弦$cos$是直角三角形的邻边比斜边。

正弦$\times $余弦，$sin cos$是个什么鬼呢？它有没有几何意义呢？

2.1 构造几何图形

其实早在十世纪就有数学家画出了正(余)弦的几何意义。

我们以正弦三角和公式为例，一起来画一画。

先将等式左边的$sin(\alpha +\beta )$在一个直角三角形中展示出来：

接着分别画出含有$\alpha $与$\beta $的直角三角形：

在根据已知条件标注两三角形里三边的值：

根据两角共余，得出右上角的三角形中有一角的值为$\alpha $：

最后标示出三角形的三边值：

可以很明显的看出结论：

进而得出结论：

$sin(\alpha +\beta )=sin\alpha cos\beta +cos\alpha sin\beta $

$cos(\alpha +\beta )=cos\alpha cos\beta -sin\alpha sin\beta $

2.2 练习

这里有正(余)弦三角和的互动操作。

先看看操作说明：

同学可以自己摆弄一下：

同样的还是在那个矩形当中，正切的三角和公式（注意一下，单位线段的位置和正弦的位置不一样了）：

$tan(\alpha \pm \beta )=\frac{tan\alpha \pm tan\beta }{1\mp tan\alpha tan\beta }$

也可以展示。

下面是正切的互动操作：

结论是$tan(\alpha \pm \beta )=\frac{tan\alpha \pm tan\beta }{1\mp tan\alpha tan\beta }$

3 欧拉公式与三角函数

几何方法直观，代数方法直接，这里就再推荐一个代数方法：用欧拉公式推三角恒等变换。

3.1 欧拉公式

欧拉公式可以参考文章 如何通俗解释欧拉公式？ ，高中的同学应该也可以掌握，并不复杂。

3.2 推导

从而我们可以利用欧拉公式来推导，正弦与余弦的三角和公式：

$$\begin{align*} & cos(\alpha +\beta )+isin(\alpha +\beta )\\ & =e^{i(\alpha +\beta )}\\ & =e^{i\alpha }e^{i\beta }\\ & =(cos\alpha +isin\alpha )(cos\beta +isin\beta )\\ & =(cos\alpha cos\beta -sin\alpha sin\beta )+i(sin\alpha cos\beta +cos\alpha sin\beta ) \end{align*}$$

比较两复数的实部与虚部，可得：

$sin(\alpha +\beta )=sin\alpha cos\beta +cos\alpha sin\beta $

$cos(\alpha +\beta )=cos\alpha cos\beta -sin\alpha sin\beta $

3.3 练习

利用欧拉公式还能很容易的推出正弦余弦的倍角公式。大家可以下来自己再试试。

这里有答案：

4 三角恒等式

正切、余切、正割、余割的恒等变换都可以依靠正弦、余弦公式推导出来，所以掌握正弦、余弦的和差公式最为基本，也是记忆的起点。