为什么“1+1=2”，需要“证明”？
数学是数学家构造出来的一个世界，那么“1+1=2”就是数学世界的开天辟地。
“为什么1+1=2？”，我眉头紧皱，抚案沉思，答案涌上心头，“存在即合理”，不叫1+1=2，也会叫a+b=c，到时候就会有人来问“为什么a+b=c”。
学了数学之后才发现自己太naive，纯粹属于“书读得太少，却想得太多”。
数学是数学家构造出来的一个世界，那么自然数的构造就是数学世界的开天辟地。
2.1 选择
我们先放空自己，想象在连空间、时间都一无所有的数学世界里（空间、时间还要在自然数之后才能被创造出来），我们应该怎么去创造自然数？
自然数会不会是这样的：
或者是这样的：
甚至这样：
选择不同的自然数体系，那么数学世界会完全不同，大家也知道最后我们做了这个选择：
这个选择是自然而然做出来的，是经过历史考验的，所以我们称之为“自然数”。
你猜猜，外星人会不会做出和我们一样的选择？至少目前看来地球上各个独立发展的文明基本都做出了一样的选择。
2.2 皮亚诺公理
意大利数学家皮亚诺用公理把自然数安放在了数学世界里面。
公理1：0是自然数。
空旷的世界有了第一个孤独的元素：
这就是产生整个宇宙的奇点。上帝创世的第一天是不是就是放置下了自然数0？
然后奇点0的大爆炸应该是什么样子的？
公理2：每一个确定的自然数
这个公理做出了选择：
为了避免太过于“迂腐”，“后继数”这个词未加定义的就使用了。
基本上雏形是有了：
但是还是可能长成这种造型：
公理3：0不是任何自然数的后继数。
这条公理直接把上面的情况给毙了：
同时这个公理也说明了0必须也只能是自然数的第一个数。
但是还是可能长成这种造型（真多事啊）：
公理4：不同的自然数有不同的后继数。
这个公理可以避免上面的情况出现：
我们终于可以一个数一个数的数下去了。
但是现在就全是自然数了吗？这样行不行：
这个数系：
｛0，0.5，1，1.5，2，3……｝
这个数系满足公理1-4：
-
0是自然数。
-
每一个确定的自然数
都有确定的后继数 ， 也是自然数。 -
0不是任何自然数的后继数。
-
不同的自然数的有不同的后继数。
但是0.5这样的数不是自然数啊，我们一定要干掉它。
于是又加上一个公理：
公理5：任意关于自然数的性质，如果证明了它对自然数0是对的，又假定它对自然数
这里有点绕，自然数都没有构造完，自然没有办法定义具体的自然数性质，这个公理就是说当以后我们定义了一个自然数的性质，自然数都要满足。
并且，这个公理就是数学归纳法！
感受一下这个命题:
这个是我们的自然数的一个性质，
上面给出了一个通俗的说明，下面为有疑问的同学进行更严格一点的说明，可能有如下疑问：
-
0.5没有定义，怎么就出现了？
-
0.5不过就是一个命名而已，我可以规定0.5也是自然数，0.25也是自然数，并且0.25排在0.5的后面。
我们从这个角度来看待公理5：公理5就是数学归纳法，用数学归纳法可以证明的定理，如果某个数不符合此定理，则一定不为自然数。
对于0.5的出现这么来考虑，我们先定义了自然数集，然后又用自然数集扩张为有理数集，然后在有理数中挑一个数，比如说0.5，因为自然数本身是有理数的子集，所以我并不清楚0.5是不是自然数，但是我这么检验，其平方为0.25，对于自然数不可能平方小于自身，所以它不是自然数。
公理5也将在接下来的加法定义中发挥作用。
2.3 命名
皮亚诺公理定义了什么是自然数：他们是这样｛
当然也可以叫别的，比如英语里面就是one、two、three、four、
你要说1后面不是2，非要是87，那也行，只是要你接受由此规定扩张出来的整个数学世界。
只有自然数的数学世界仍然死气沉沉，增加的加法让数字与数字之间开始有了化学反应：
定义自然数的加法：设
要证明
我们来计算一下
计算
所以有
加法就像这样：
现在我们终于可以来解答1+1为什么等于2：
自然数和加法是数学世界的根基（当然还有集合论等，忍不住还是严谨一下），在这个基础上数学世界越来越辉煌，这就是为什么需要证明“1+1=2”：
为什么数轴是直的， 而不是长成这样：
这倒没什么正确答案，不过确实有一些数学原因。
思考是数学真正的乐趣。
参考文献：《陶哲轩实分析》
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