这个问题本身不难，证明有十七八种甚至更多。但是代数证明之后，我的内心还是忐忑不安，$\frac{1}{n}$和$\frac{1}{n^2}$，都是所谓的$P$级数，到底有什么本质不同会导致一个收敛一个发散？会不会我证明错了？其实两个都是收敛、或者都是发散？

1 观察调和级数$\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac{1}{n}}$

我们先放空自己，假设不知道调和级数$\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac{1}{n}}$是发散的，我们来直观的感受一下调和级数。

设置几个不同的$n$看看调和级数的值是多少：

• $\displaystyle n=10\implies \sum _{n=1}^{10}{\frac{1}{n}}\approx 2.93$
• $\displaystyle n=1000\implies \sum _{n=1}^{1000}{\frac{1}{n}}\approx 7.49$
• $\displaystyle n=100000\implies \sum _{n=1}^{100000}{\frac{1}{n}}\approx 12.09$

增长的是不是很慢？

假设有这样一个屏幕，我们可以更好的感受下调和级数的增长速度：

每0.1秒，$n$增加1，所以一分钟的时候，$n=600$：

4个小时之后：

6个小时之后：

整整两个小时过去，整数位还是12，我想大概就收敛在12-13之间了吧，可是到了第7个小时，整数位终于跳到了13：

$n$越大增长就越慢，按照这个速度，级数和要达到60(没错，就是60这个区区小数)，基本上需要花几十亿年的时间。你盯着屏幕一年、两年，一直盯到你怀疑人生，整数位都一直没有变化，你想或许它收敛了吧，可是它终究在顽强的变大。

从你打开这个页面开始（如果是网页版本的话，知乎和微信不支持互动内容），下面这个级数就一直在累加，读完这篇文章大概也就几分钟，你看看几分钟之后可以累加到多少：

直觉这个时候是失灵的，我们没有办法通过直觉判断调和级数是收敛还是发散，同样我们也没有办法通过直觉根据调和级数去推论P级数是否收敛还是发散。

2 收敛还是发散的决定因素

我们先来观察两个级数，一个是$\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }1$，一个是$\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{10^ n}$：

这两个级数收敛还是发散很好判断，$\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }1=1+1+1+\cdots $，每次相加都会导致整数位变化，所以$\to \infty $，而是$\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{10^ n}=0.1+0.01+0.001+\cdots $，每次相加都是不会影响整数位，作用在不同位上，更不会有进位，所以一定是收敛的：

可这两者有什么不同呢？速度：

我们先定义一下速度，这里给出单独的每个级数的速度没什么意义，两个级数的速度比更有意义：

根据这个收敛定义，$\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{10^ n}$肯定比$\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }1$速度快。

收敛和发散的决定因素就是速度：

从直觉上讲，速度越靠近上方的就发散，靠近下方的就收敛：

速度一点点改变，最终就会引起质变，形成收敛和发散的鸿沟。

3 $\frac{1}{n}$和$\frac{1}{n^2}$

根据之前的速度定义，$\frac{1}{n^2}$速度比$\frac{1}{n}$快，但是速度引起了什么质变，导致两者在收敛和发散的道路上分道扬镳呢？

两者速度的变化导致了部分和的本质不同。

4 是否存在一个发散速度最慢的级数？

对于$P$级数，$P=1$也就是$\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac{1}{n}}$，是发散速度最慢的$P$级数。

但是对所有级数不能这么说，我们很容易构建一个发散更慢的级数，比如$\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac{1}{nIn(n)}}$，比调和级数发散的更慢，但是仍然发散。

5 让调和级数收敛

我们从调和级数中抽去某些项，相当于加快调和级数的收敛速度，看看能否收敛：

• $n$全部为质数：${1 \over 2}+{1 \over 3}+{1 \over 5}+{1 \over 7}+{1 \over 11}+{1 \over 13}+\cdots \rightarrow \infty $
• $n$为$n!$：${\frac{1}{1}}+{\frac{1}{1}}+{\frac{1}{2}}+{\frac{1}{6}}+{\frac{1}{24}}+{\frac{1}{120}}+\cdots =e$
• $n$为斐波拉契数：${\frac{1}{1}}+{\frac{1}{1}}+{\frac{1}{2}}+{\frac{1}{3}}+{\frac{1}{5}}+{\frac{1}{8}}+\cdots =\psi $

大家感兴趣的话，可以搜索贫化调和级数，挺有意思的概念。

6 结论

通过速度比较并不能确定一个级数发散还是收敛，但是速度变化会带来本质的变化。