牛顿迭代法，我另外一篇文章写过， 如何通俗易懂地讲解牛顿迭代法求开方？ ，在那篇文章中也提到牛顿迭代法本有不少问题，比如：

• 初值的选择对问题的求解影响太大，可能导致求不出来、或者求解效率低
• 无法得知有几个根。就算知道有几个根，也不一定可以尽数求出
• 迭代过程中，你也不知道这次迭代的值和根的误差有多大

所以说来，牛顿迭代法算不上很实用的求根方法，不过求平方根还是比较好用的（因为随便选个初值，都会收敛，并且收敛速度还很快），这也是经常可以看到牛顿迭代法出没的地方。

下面介绍一个更实用的求根方法。

米歇尔·罗尔（1652－1719），法国数学家，最著名的数学遗产是罗尔中值定理（数学史看多了，对这些数学英雄心生敬意，特立照于此）。

其实罗尔的数学研究重心在于多项式方程的根的求解，发明了一种我翻译为级联求根法的方法（英文：The Method of Cascades），这种方法的一个副产品是罗尔中值定理。

尽管罗尔中值定理是微积分很基本、很重要的定理，但是罗尔本人并不认可微积分，认为微积分是一堆错误的集合。鬼知道他是怎么在没有微积分的帮助下发明罗尔中值定理，并且发明出他的求根方法的（后面你会看到，他的求根方法完全基于微积分，当然这是现代人翻译后的结果，他的原始手稿你一定是不想看的，最后会有，可以涨下姿势）。

我们先来看看它求根的思想是什么（下面都是用现代的数学语言翻译过的）。

1 数学思想

罗尔研究的对象是形如$f(x)=x^ n+a_1x^{n-1}+\cdots +a_ n=0,x\in \mathbb {R}$这样的多项式方程的根。

假如说这样一个多项式的方程的根存在，我们怎么求解呢？最粗暴的办法，把定义域范围内的每个实数拿来代入方程，看是否是多项式方程的根，这怕比大海捞针还希望渺茫。

罗尔给了一种方法，让我们可以确定每个根的范围。

1.1 驻点与根

假设$f(x)$的所有的根为$\{ x_ n\} =x_1,x_2,\cdots $，有$a,b\in \mathbb {R}$，满足$a < min(\{ x_ n\} ), b > max(\{ x_ n\} )$。

一次函数的情况：

二次函数的情况：

求出驻点：

当然也可能出现$(a,s_1)$或者$(s_1,b)$区间内没有根的情况。

比如这样：

或者这样（根有可能出现在驻点上）：

这该怎么判断呢？我们来复习下零点定理（其实就是介值定理的特殊情况），从几何上看显而易见：

根据零点定理可以判断：

从上面的观察来看，我们可以猜想根的上界与相邻驻点、下界与相邻驻点之间至多只有一个根。

我们来看看有没有这种可能，会不会两个根都在$(a,s_1)$，或者在$(s_1,b)$之间呢：

此处罗尔使用了罗尔中值定理（这就是罗尔中值定理的出处）进行了反证，$f(x)$很显然符合使用罗尔中值定理的条件，$[a,b]$连续，$(a,b)$可导：

至此，我们可以得到一个结论：上界与相邻驻点、下界与相邻驻点之间至多只有一个根。

三次函数的情况：

求出驻点：

同样的，通过罗尔中值定理，我们可以得到结论，相邻驻点之间至多只有一个根。

四次函数的情况：

至此，我们总结一下：

• 上界与\textbf{相邻}驻点、下界与\textbf{相邻}驻点之间至多只有一个根
• \textbf{相邻}驻点之间至多只有一个根
• 区间内是否有根可以通过零点定理来进行判断

根据上面结论，求函数$f(x)$在$(a,b)$（$a,b$分别为根的下界和上界）内的根,只需要求出$f(x)$在$(a,b)$内的所有驻点$s_1,s_2\cdots ,s_ n$，则所有根必定落在$(a,s_1),(s_1,s_2)\cdots (s_ n,b)$内，每个区间至多有一个根，我们还可以通过零点定理来帮忙。然后我们就可以在这些区间内愉快的搜索了。

求驻点相当于求$f'(x)=0$的根，对于多项式函数而言，$f'(x)$一般是比$f(x)$简单的。

拉格朗日把上面的结论表述为：

这样求根就化成了求驻点。那么我们可以开始了吗？别慌，如何求根的上下界还没交代呢。

1.2 根的上界

罗尔说的，对于多项式$x^ n+a_1x^{n-1}+...+a_ n=0$，它的根都小于$k+1$,其中$k$为最大负数项的系数的绝对值（我找了半天也没有找到证明，不过看到有别的证明可以佐证，感兴趣可以参看书籍《first course in the theory of equations》21页）。

举个例子:

$x^5+4x^4-7x^2-40x+1$

这个式子也可以表述为:

$x^5+4x^4+0x^3-7x^2-40x+1$

最大负数系数项即$k=|-40|=40$，则它的根小于$1+k=1+40=41$，即我们可以说$b=41$（$b$代表根的上界）。

1.3 根的下界

知道上界之后，通过一个替换我们就可以确定根的下界。

已知$f(x)$根的上界为$e$，那么如果$x$为$f(x)$的根的话，必定有$e-x=z > 0$。

那么我们做一个替换，令$z=e-x\implies x=e-z(z > 0)$，代入$f(x)=f(e-z)\implies g(z)$。

那么对于$g(z)=0$的根而言，$z > 0$，所以下界$a=0$，而上界$b$需要根据刚才的算法重新算出来。

2 示例

来看一个具体的例子，下面只计算到小数点后两位：

求$f(x)=x^4+x^3-4x^2-3x+2$的根.

2.1 方程变形

根据之前的根的上限的算法，$k=|-4|=4$，得到根$x < 4+1=5$。则令$x=5-z$。

代入$f(x)=f(5-z)=(5-z)^4+(5-z)^3-4(5-z)^2-3(5-z)+2$，整理得到：

$g(z)=z^4-21z^3+161z^2-532z+637$。

2.2 级联求根

对$g(z)$连续求导，直到只有一次项为止。

$$\begin{align} z^4-21z^3+161z^2-532z+637=0\quad (1) \\ 4z^3-63z^2+322z+532=0\quad (2) \\ 12z^2-126z+322=0\quad (3) \\ 24z-126=0\quad (4) \\ \end{align}$$

然后我们需要从$(4)\to (1)$逐级求根。

虽然(1)(2)(3)(4)方程都可以通过通式求出，但是为了演示方法，我还是从(4)式开始求：

$24z-126=0\implies z=5.25$，这其实就是(3)的驻点：

$b$点太远了，不方便画图，我们暂时把$b$放到图外去：

通过零点定理和二分法（二分法的效率还是很高的），很快就可以算到$x_1=4.39,x_2=6.10$（保留小数点后两位），实际上就求得了(2)式的驻点。

反复运用上述方法，求得$g(z)$的根为：$z_1=7.01,z_2=6.24,z_3=3.19,z_4=4.55$，因为保留小数点后两位，上述根并不精确，比如$z_1=7.01$，其实精确的根应该为$z_1=7$。

2.3 得到结果

最后将此代入：$x=5-z$

求得$f(x)$的根为$x_1=-2.01,x_2=-1.24,x_3=1.81,x_4=0.45$。

3 结论

罗尔的方法对连续可导的$f(x)$都是适用的，并非要局限在多项式，但是，至少要$f'(x)=0$比$f(x)=0$更容易解才有意义。

最后，让我们用罗尔研究这个问题的手稿来结束这篇文章，尽管三四百年的数学发展让我们已经很难看出他写的是什么了：