柯西收敛准则和数列极限的区别
两者的区别用一个“夹板”就可以说清楚。
1 数列极限
设$\{ x_ n\} $为一数列，如果存在常数$a$，对于任意给定的正数$\epsilon $（不论它多么小），总存在正整数$N$，使得当$n > N$时，不等式$|x_ n - a| < \epsilon $都成立，那么就称常数$a$是数列$\{ x_ n\} $的极限，或者称数列$\{ x_ n\} $收敛于$a$，记为$\displaystyle \lim _{n\to \infty }=a$，或$x_ n\to a(n\to \infty )$。
《高等数学》同济版
我把数列$\{ x_ n\} $画出来：
假设$a$为数列极限，过$a$作一根平行于横轴的直线，以$\epsilon $为距离，上下各作一根平行于横轴的线：
2 柯西收敛准则
数列$\{ x_ n\} $收敛的充分必要条件是：对于任意给定的正数$\epsilon $，存在正整数$N$，使得当$m>N$，$n>N$时，有$|x_ n-x_ m| < \epsilon $。
《高等数学》同济版
柯西收敛准则和数列极限最大的不同是，不需要知道极限值是多少，这样判别收敛的实用性更强。
选择数列中的某一项，比如说$x_ N$，过$x_ N$作一根平行于横轴的直线，以$\epsilon $为距离，上面各作一根平行于横轴的线：
3 总结
柯西收敛准则，是判断收敛的重要条件，所以我们也称收敛数列为柯西数列。
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