戈特弗里德·威廉·莱布尼茨（1646－1716）,德意志哲学家、数学家，历史上少见的通才，获誉为十七世纪的亚里士多德。

牛顿和莱布尼兹都是一时无两的人物，可是历史就是爱让大师扎堆出现（可能也是时势造英雄吧），所谓一山不容二虎，除非一公一母。这里就简单说一下莱布尼兹、牛顿关于争夺微积分发明权的公案。

牛顿可能是性格上非常害怕批评的人，所以他不是很愿意发表自己的发现，怕被人议论。

举个例子你就知道牛顿这方面的性格有多极端。牛顿在《光与色的理论》中提出光的粒子性，就遭到了认定光具有波动性的英国皇家学会实验室主任胡克的强烈批评，两人因此有了相当大的敌意。胡克是个矮个子，所以牛顿写信给胡克说：“如果说我看得比别人更远些，那是因为我站在巨人的肩膀上”。其实这句话的意思是在嘲笑胡克是个矮个子。

甚至因为惧怕批评，所以牛顿在出版他的旷世巨著《自然科学的哲学原理》（就是提出力学三定律的那本书，学界简称为《原理》可知其地位）第三卷的时候，故意用数学来写并且弄得晦涩难懂，因为胡克不懂数学。牛顿的《光学》巨著也是写成20年后才发表，正好是胡克死后一年，很难让人不认为牛顿是在回避胡克的批评。

罗伯特·胡克（1635－1703），英国博物学家、发明家。我对他的印象就是发明了显微镜，并且第一个为“细胞”做出了英文命名（“cell”）。遗憾的是他没有留下一张真正的肖像画，上面的也只是后来作家的印象画。不过他最为出名的事迹还是怼牛顿，大家有兴趣可以自行搜索下。

由于牛顿这种性格，所以他关于微积分的一系列发现也没有发表，而是记录在笔记里面。而莱布尼兹乐于发表自己的发现，如果不是因为牛顿在物理上巨大的声望和在国内崇高的地位（一帮子英国大腕帮忙干架），我看按照现在科学界的规则，微积分的发明权妥妥的属于莱布尼兹。

因为有证据表明牛顿确实先一步发明微积分，而莱布尼兹还与牛顿通信讨论过，甚至看过牛顿未发表的笔记（但是不清楚是在莱布尼兹发明微积分前还是之后），所以关于微积分的发明权一直争论不休，欧洲大陆普遍还是支持莱布尼兹的（莱布尼兹教出了一帮赫赫有名的学生，比如说伯努利兄弟，这些有影响力的学生以及学生的学生肯定是支持莱布尼兹的），英国索性就不和欧洲大陆进行学术交流了，这也严重影响了英国在学术上的进步。

目前的公论是牛顿和莱布尼兹各自独立发明了微积分，看起来像是微积分发明权争夺战之后的和稀泥，但我们仔细研究数学史，就会发现莱布尼兹发明微积分的角度和牛顿很不一样，所以我觉得这个结论还是比较公允的。

本文就来看一下莱布尼兹发明微积分的角度。

本节内容如下：

• 莱布尼兹的微积分思想
• 与近代微积分思想的对比
• 牛顿-莱布尼兹公式之莱布尼兹

1 莱布尼兹的微积分思想

莱布尼兹的微积分思想非常符合直觉，在实际教学中往往会以他的思想作为教学的模型，所以大家看到下面的讲述会感到非常的熟悉（一般不会使用牛顿的微积分思想进行教学，从上一节中可以看到比较绕，现在也只在物理领域可以看到牛顿微积分的痕迹，毕竟牛顿是祖师爷嘛）。

我们来看看莱布尼兹对于微积分几个关键概念的定义。

1.1 积分

莱布尼兹思想的核心是，把积分看作无穷小的加法。

莱布尼兹首先从求和出发：

Sum就是英文求和的意思，当时没有$\Sigma $这个符号。

但是和普通的求和最大的区别是，矩形的底边长必须为无穷小$dx$，这种情况下的“求和”才能称为积分：

也是为了以示区别，莱布尼兹把英文的求和“Sum”的第一个字母“S”拉长：

$$Sum(f(x)\Delta x)\implies \int _{um} f(x)dx$$

简写为：

$$\int f(x)dx$$

微积分的标志$\int $的出现向所有人宣告高等数学的来临（当时没有不定积分和定积分的区别，现在用的定积分符号是后面傅立叶发明的）。

莱布尼兹这个积分的定义，简单直接，规避了牛顿对积分定义的种种问题，后面柯西、黎曼都是在这个基础上完善积分的定义。

1.2 切线

之前说过，求切线也是当时重要的任务。我们来看看莱布尼兹是怎么求切线的。

首先，关于什么是切线，莱布尼兹是这么定义的："求一条切线意味着画一条直线连接曲线上距离无穷小的两个点"。

莱布尼兹说，定义里面说的“距离无穷小”就是指的$dx$。

然后为了计算这个切线，莱布尼兹又定义了一个无穷小，$dy$是对应$dx$的曲线增量：

同时，莱布尼兹也认为：

然后计算这两个无穷小的商就可以得到切线的斜率：

1.3 微分

从上面的讲解中可以认识到，无穷小在微积分中的重要地位，因此莱布尼兹专门给它们取了名字，就叫做微分。上面说到的$dx,dy$都是微分。

所谓的微积分，就是指把这些微分积起来。

1.4 小结

总结下莱布尼兹的微积分：

• 积分：关于无穷小的加法
• $dx$：是无穷小
• $dy$：即是$dx$对应的曲线增量，也是$dx$对应的切线增量
• 切线：通过无穷接近的两个曲线上的点来定义
• 导数：两个无穷小之商，$\frac{dy}{dx}$

2 与近代微积分思想的对比

莱布尼兹的微积分思想非常直观，可能初学微积分的时候老师或者教材都会按照莱布尼兹的思想来给我们介绍什么是微积分，可惜它有一个致命问题，无穷小是什么？

2.1 无穷小是什么？

莱布尼兹的整个微积分都是基于无穷小的，但是很显然莱布尼兹没有办法给出一个正确、并且严格的定义。

对于无穷小，比如$dx$是什么，莱布尼兹也很不明确的。他说，你可以把$dx$看作最短、最微小的长度。

但是这个很明显不正确，比如我们把$dx$这个长度看成一个非常小的正数，那么一定有$\frac{dx}{2} < dx$，就说明不存在最小的正数。

2.2 现代微积分观点

其实莱布尼兹的思想基本都是正确的，我们只是需要修正无穷小的定义。

本来应该在系列文章中抽丝剥茧的慢慢引入现代微积分观点，但是本文定位于《高等数学》的课外读物，为了避免读者混淆了观念，我在这里就对现代微积分观点进行一个阐述，以资比较。不过一些细节会在后面章节展开。

毕竟我们不是侦探小说，没必要看到最后才发现：“原来Boss是他！”

2.2.1 切线

现代的切线的定义也是继承了莱布尼兹的思想，曲线上两点无限的接近：

但是和莱布尼兹不一样的是，这种无限接近是通过极限来描述的，我们可以通过极限来计算出切线的斜率（这样就即表达了莱布尼兹想描述的无限接近，又避开了无穷小是一个数这个坑）：

2.2.2 微分是什么？

为了方便观察，我放大点，这一幅图说明了$\Delta x,\Delta y,dx,dy$四者之间的关系。

从图中可以看出，导数也可以表示为$\displaystyle y'=\frac{dy}{dx}$，这看起来也继承了莱布尼兹的符号，虽然背后的含义有所不同了。

顺便说下，我们依然有$\displaystyle \lim _{\Delta x\to 0}dy=0,\lim _{\Delta x\to 0}dx=0$，所以$dy,dx$依然是严格意义上的无穷小，不过我们现在称为“无穷小量”。

2.2.3 以直代曲

我们注意到，$\Delta x=x-x_0$（假设切点横坐标为$x_0$），实际上是一个函数，那么$dy=f'(x_0)dx$实际上也是一个函数，其实它就是切线的函数：

我更喜欢把$dy$看作切线，而不是看作增量，因为这正是微积分最重要的思想，“以直代曲”：

运用微积分的“以直代曲”思想，你会发现很多微积分的结论就很合理了。我们后面慢慢展开。

这里举一个简单的例子，如果理解了一元的微分是根直线，那么我们可以很合理的期待二元的全微分是个平面（因为平面才能近似一点附近的曲面）：

我们在多元微积分中可以看到，全微分的方程确实是一个平面方程。

围绕“以直代曲”这个核心，就可以把知识给串联起来，建立微积分的大局观。

我 有一篇回答 对于莱布尼兹的微积分和现代的微积分之间的区别有更多的细节描述，可以点击过去观看，以作参考。

2.2.4 积分

现代的观点里面，积分不再是矩形的和了，而是黎曼和的极限，这点我就不展开了，我后面会具体讲到。

2.3 小结

总结下近代的微积分：

• 积分：黎曼和的极限
• $dx$：$\Delta x$
• $dy$：$dx$对应的切线增量，或者说是切线
• 导数：$\displaystyle y'=\lim _{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}$
• 切线：根据导数来做出切线

3 牛顿-莱布尼兹公式之莱布尼兹

1677年,莱布尼茨在一篇手稿中正式提出了这一公式。牛顿和莱布尼兹两人共同享有这个公式的命名，以他们在世时水火不容的情况看，不知道这二位是否愿意名字并排在一起。

我们来看看莱布尼兹是怎么推导这个公式的（我没有见过具体推这个公式的手稿，下面是我根据莱布尼兹发明微积分的思路揣测的）：

之前我们说过，对于莱布尼兹而言，$dx$对应的曲线增量就是$dy$，所以：

至此，我们可以得到$f(b)-f(a)=\sum dy$，之前我说过$dy=f'(x)dx$（对于莱布尼兹这个公式也是成立的），所以有：

$$f(b)-f(a)=\sum f'(x)dx=\int _ a^ b f'(x)dx$$

。

$f$是$f'$的原函数，从而我们又一次得到了牛顿-莱布尼兹公式。

4 结论

牛顿和莱布尼兹把微积分变成一门学科，完成了普遍性或者说抽象性的工作：

• 微积分的思想脱胎于几何学中的“穷竭法”，但是微积分的思想在两位大师的手中开始独立于几何，这是迈向普遍的第一步
• 微积分开始获得了代数的基础，也就获得了巨大的生命力
• 之前我提到的4类问题，速度、切线、面积、最值，都被微积分统一解决，展现了微积分威力

微积分这门学科开始有了名分，后面需要更多大师来提供各种微积分的技术、解决实际的各种问题，才能让这门学科发扬光大。

后面我就会讲一讲微积分的技术发展。