如何理解洛必达法则？

马同学

如何理解洛必达法则？

洛必达先生因为洛必达法则而不朽。

17世纪的贵族子弟洛必达曾经说过：人这辈子一共会死三次。

第一次是你的心脏停止跳动：那么从生物的角度来说，你死了。
第二次是在葬礼上：认识你的人都来祭奠，那么你在社会上的地位就死了。
第三次是在最后一个记得你的人死后：那你就真的死了。

为了知行合一，洛必达从数学家伯努利手中重金买下了一个知识产权，伯努利收获了金钱，也付出了后悔。

这次交易的内容就是我们今天要讲的，以洛必达的名字命名的洛必达法则。

1 洛必达法则

洛必达法则（l'Hôpital's rule）是利用导数来计算具有不定型的极限的方法。这法则是由瑞士数学家约翰·伯努利（Johann Bernoulli）所发现的，因此也被叫作伯努利法则（Bernoulli's rule）。

维基百科

不严格的说，洛必达法则就是在$0/0$型和$\infty /\infty $型时，有${\displaystyle \lim _{x\to a}{\frac{f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to a}{\frac{f'(x)}{g'(x)}}}$。

可见，洛必达法则最犀利的是大大简化了极限运算。这种化繁为简的技术手段从来都是深受喜爱的。

这篇文章我们主要回答一下两个问题：

为什么洛必达法则对于$0/0$型和$\infty /\infty $型生效？
洛必达法则对于别的类型是否生效？

1.1 构造关键函数

我们令$u(x)=(g(x),f(x))$，为了阅读顺畅，这个函数我要多解释下。

对于一般我们接触的函数，比如$f(x)=2x, x\in R$，根据函数定义，这是一个$R\to R$的映射：

而$u(x)=(g(x),f(x))$是一个$R\to R^2$的映射：

$u(x)=(g(x),f(x))$可以如下表示：

做出$A$点的割线：

割线的极限即是切线，大家可以感受一下：

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所以可以得出切线的斜率即导数为：

通过坐标轴的原点$O(0,0)$连接$B$点，马同学把这个连线称为原点线：

通过构造关键函数$u(x)$我们得到两个的结论：

$u'(x)=\frac{f'(x)}{g'(x)}$
原点线斜率为$\frac{f(x)}{g(x)}$

根据洛必达法则：${\displaystyle \lim _{x\to a}{\frac{f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to a}{\frac{f'(x)}{g'(x)}}}$。可见，构造关键函数之后，我们已经有了$\frac{f'(x)}{g'(x)}$和$\frac{f(x)}{g(x)}$，剩下的就是看这两者什么时候极限相等了？

1.2 $0/0$型

我们让$u(x)$曲线可以经过$O(0,0)$点：

分别做出割线和原点线：

容易观察到，$A$点越靠近原点，割线和原点线越接近：

可以动手试试：

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$A$点和$O$点重合时，割线就是原点线：

$A$点和$O$点重合时，割线斜率就是原点线斜率，即$\frac{f(x)}{g(x)}$。根据割线的极限即切线，有$\displaystyle \lim _{x\to a}{\frac{f(x)}{g(x)}}=u'(a)$，根据之前的结论有$u'(x)=\frac{f'(x)}{g'(x)}$，所以$\displaystyle u'(a)=\lim _{x\to a}{\frac{f'(x)}{g'(x)}}$，所以有${\displaystyle \lim _{x\to a}{\frac{f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to a}{\frac{f'(x)}{g'(x)}}}$，即洛必达法则。

需要说明一点：

可见，洛必达法则对$0/0$型可以生效。

1.3 $\infty /\infty $型

在欧式几何中，两条线的斜率要相等，只有两种情况，重合或者平行。

这就是$\infty /\infty $型为什么适用于洛必达法则的原因，我们来一起推导一下。

首先$u(x)$要换一下，必须得有$(\infty ,\infty )$点：

画出割线和原点线:

当$A \to \infty $时，割线和原点线趋向于平行：

顺便说一下，这里比较诡异的地方是，割线和原点线一直交于$A$点，但是当$A \to \infty $时居然两者可以平行。其实我们可以说两条平行线交于无穷远点，至于无穷远点能否到达又是另外的问题了。

你也可以动手试试

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同样说明一下，$A \to \infty $意味着是$\infty /\infty $型。

根据$0/0$型的推论的思路，洛必达法则对于$\infty /\infty $型也生效。

1.4 结论

所以洛必达法则生效的原因是：

$0/0$型：割线和原点线重合
$\infty /\infty $型：割线和原点线平行

2 扩展洛必达法则

这里就是要回答洛必达法则对于别的类型是否生效的问题。

2.1 洛必达法则总是有效的函数

令$g(x)=2x$，$f(x)=4x$，可以用两种办法求极限：

约分：$\displaystyle \lim _{x\to a}{\frac{f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to a}{\frac{4x}{2x}}=2$
洛必达法则：$\displaystyle \lim _{x\to a}{\frac{f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to a}{\frac{f'(x)}{g'(x)}}=\lim _{x\to a}{\frac{4}{2}=2}$

根据第二种解法，意味着这两个函数总是适用洛必达法则。

我们构造$u(x)=(g(x),f(x))=(2x,4x)$，画出图像：

2.2 洛必达法则的扩展

所以，只要原点线和割线斜率相等，就可以运用洛必达法则，对洛必达法则的扩展让我们把它称为马同学法则吧：）

不过就实际应用来说，还是$0/0$型和$\infty /\infty $型最实用，但是好歹让马同学发明了一个马同学法则，希望可以像洛必达法则一样名垂千古。

3 最后

我想，洛必达先生真的是因为这场交易不朽了。

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