子式

中,任取行与列(),位于这些行、列交叉处的个元素,不改变它们在中所处的位置次序而得的,称为矩阵子式

比如,取其中的一、三行和一、四列:

交叉处总共有4个元素,保持相对位置不变构成的就是该的一个二阶子式。

1 主子式与顺序主子式
是集合的一个元子集,是集合的一个元子集,,其中抽取的行的行号是中所有元素,列的列号是中所有元素。那么:
  • 如果,称主子式(Principal minor)
  • 如果所取的是左起前k列和上起前k行),称顺序主子式(Leading principal minor)

比如,取其中的一、三行和一、三列,所取的行号、列号相同,得到的就是该的一个二阶主子式:

而取前一行一列得到的就是一阶顺序主子式,取前二行二列得到的就是二阶顺序主子式,取前三行三列得到的就是三阶顺序主子式:

2 子式与秩的关系

在同济大学的《线性代数第六版》中是通过子式来定义的(该定义和我们课程中的定义是等价的,证明略):

设在中有一个不等于0的阶子式,且所有阶子式(如果存在的话)全等于0,那么称为最高阶非零子式,数称为矩阵
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马同学高等数学
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