根据来计算，最麻烦的就是要考虑的任意划分。不过如果已知的话，那么可以选择一种容易计算的划分来进行求解。

在直角坐标系中，当时，通常用平行于坐标轴的直线网来划分，

• 对于矩形而言，如下图左侧所示，划分后的小都是矩形，设其边长为和，则有
• 对于非矩形而言，如下图右侧所示，进行划分后，忽略掉边缘不规则的白色部分(这些部分在时是可以忽略的，具体的证明此处略去)，其余灰色部分的小都是矩形，设其边长为和，则也有

所以此时的也可记作：

类似于称为的 面积元素 ，称为在 直角坐标系中的面积元素 。

下图所示的就是三种属于型区域的。

下图所示的就是两种属于型区域的。

上述定理不做证明，下面通过举例来说明一下。如下图所示，其中的函数在矩形区域上。

在《马同学图解微积分·上》中学习过，这里计算函数在矩形区域上的也是相同的思路。结合这里的问题，下面将该思路再重复一遍。

下图左侧是函数在矩形区域上的，其体积就是要求的函数在矩形区域上的。为了求出该体积，我们将轴上的区间任意分为份，是其中的一个小区间。作该过点、平行于轴的截面积，如下图右侧所示。

然后以截面积为底、为高可作出一柱体，如下图左侧所示。用同样的方法，分别以截面积、、、为底，以、、、为底可作出个柱体，这些柱体可以近似所要求的，如下图右侧所示。并且通过求这些柱体的极限，最终可得到该的体积。

根据上面分析的思路，让我们先求出截面积。该截面积可看作由直线、、及曲边所围成的的面积，如下图所示。

所以截面积可通过求出，即：

这里讨论的并非某个特定的数值，所以可将上述截面积中的用自变量替换，这样就得到了截面积函数，即：

根据上述定理中的“函数在矩形区域上”，可得截面积函数在区间上。

因为截面积为底、为高的柱体的体积为，所以分别以截面积、、、为底，以、、、为底作出的个柱体的体积和为：

也就是说我们得到了单个柱体的体积，以及个柱体的体积和，如下图所示。

下面要对个柱体的体积和求极限，从而得出函数在矩形区域上的的体积。令，因为截面积函数在区间上，根据，所以时上述的极限存在，也就是。所以：

所以要求的函数在矩形区域上的为：

上述推论过程中，如果划分轴上的区间，那么就可以得到：

下面举例说明下上述定理中的第一种情况，即解释下在型区域上的计算方法。而第二种情况，也就是在型区域上的计算方法，同学们可以自行举一反三，不再赘述。

如下图所示，其中的函数在某型区域上。

具体的推导方法和富比尼定理的较弱形式类似，主要是截面积函数有所不同，下面来推导一下。

下图左侧是函数在矩形区域上的，其体积就是要求的函数在矩形区域上的。为了求出该体积，我们将轴上的区间任意分为份，是其中的一个小区间。作该过点、平行于轴的截面积，如下图右侧所示。

截面积可看作由直线、、及曲边所围成的的面积，如下图所示。

所以截面积可通过求出，即：

这里讨论的并非某个特定的数值，所以可将上述截面积中的用自变量替换，这样就得到了截面积函数，即：

根据上述定理中的“函数在区域上”，可得截面积函数在区间上。

因为截面积为底、为高的柱体的体积为，所以分别以截面积、、、为底，以、、、为底作出的个柱体的体积和为：

也就是说我们得到了单个柱体的体积，以及个柱体的体积和，如下图所示。

下面要对个柱体的体积和求极限，从而得出函数在矩形区域上的的体积。令，因为截面积函数在区间上，根据，所以时上述的极限存在，也就是。所以：

所以要求的函数在矩形区域上的为：