由三维、围成的平行四边形，如果要考虑该平行四边形的方向，可以由图中的来表示：
该有如下性质：
数学家定义了向量积运算（因为运算的结果是），又称为叉积运算，来计算该：
、围成的平行四边形的法线其实有两个方向，那么哪个方向是向量积的方向：
数学上是通过右手定则来规定的，即用右手从抓向，大拇指的方向就是向量积的方向：
根据该规定可知向量积方向如下：
向量积可以投影到、，平面：
投影在各个平面的有向面积分别为：
以为例来解释下。是二维平面中的，由、在平面上的投影、围成。具有两个方向，指向上方或者下方（因为面积在变化，所以的长短也在变化）：
将、的分量置为0就可以得到、：
因此可算出由、围成的为（向量积由方向和模长两部分组成，下面分别来计算。 （1）方向。容易知道与平行：
只是方向可能与相同，或者相反，这需要看（2）中计算的模长。
（2）模长是的面积。因为由、围成，所以该面积可以通过来计算：
注意到该有正有负，为正时说明与方向相同，为负则说明两者相反。
（3）综合起来：
）：
将这些投影加起来就得到了向量积：
向量积也常常写作如下的形式，这样便于记忆：
根据以及的运算法则，有：
所以，向量积可以类比写作：
叉积有以下性质：
设、以及，下面来逐一证明。 （1）反交换律。根据，有：
根据有：
所以有。
（2）分配律。根据，有：
根据有：
所以有。
（3）数乘结合律。根据，有：
根据有：
所以有。
